\Large a^b
このような数のaのことを底、そしてbのことを指数と呼びます。
指数のついた数の基本的な考え方は「aをb個掛け合わせる」です。
この考え方がもとになって指数の計算法則が成り立っています。
指数の和・差
a^m×a^nの場合はaをm個掛け合わせたものとaをn個掛け合わせたものの積なので最終的にaをm+n個掛け合わせているのと等しくなります。
したがって、a^m×a^nは指数同士を足してa^{m+n}となることがわかります。
a^m÷a^nはm>nのときを考えるとaをm個掛け合わせたものをaをn個掛け合わせたもので割っているので最終的にaをm-n個掛け合わせているのと等しくなります。
したがって、a^m÷a^nは指数同士を引いてa^{m-n}となることがわかります。
ここでa^m÷a^nは
a^m÷a^n=a^m\times\frac{1}{a^n}
と書くことができ、またa^{m-n}は
a^{m-n}=a^{m+(-n)}
さらに指数の和より
a^{m+(-n)}=a^m\times a^{-n}
となることから
a^m\times\frac{1}{a^n}=a^m\times a^{-n}
すなわち
\Large\frac{1}{a^n}=a^{-n}
が成り立ちます。
また、このことと指数の和から0乗は
\begin{align*}\large a^n×a^{-n}&=a^{n-n}\\[0.5em]&=\underline{a^0=1}\end{align*}
となります。
指数の積・商
(a^m)^nの場合はa^mをn個掛け合わせます。a^mはaをm個掛け合わせたものなので最終的にaをm×n個掛け合わせているのと等しくなります。
したがって、(a^m)^nは指数同士を掛けてa^{mn}となることがわかります。
\large(a^m)^n=a^{mn}=(a^n)^m
また、(a^n)^mも同様にしてa^{mn}となることからaの指数と括弧の指数を入れ替えることができることがわかります。
\large(ab^p c^q)^n=a^n b^{pn} c^{qn}
括弧の中身が複数の因数を含む場合は因数それぞれをべき乗します。
a^\frac{1}{n}はaのn乗根を表し、
\Large a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}
となります。
例えばaの正の平方根は
\Large\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}
となります。
なので、指数の積の
\begin{align*}\left(a^\frac{1}{n}\right)^n&=a^{\frac{1}{n}\times
n}\\[0.5em]&=a^1\\[0.5em]&=a\end{align*}
は
(\sqrt[n]{a})^n=a
に相当します。
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