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2022年5月30日

指数の計算法則

\Large a^b
 このような数のaのことを底、そしてbのことを指数と呼びます。
指数のついた数の基本的な考え方は「ab個掛け合わせる」です。
この考え方がもとになって指数の計算法則が成り立っています。

指数の和・差

指数の和
 指数同士が足されるのは、底が同じ数同士を掛けたときです。
a^m×a^nの場合はam個掛け合わせたものとan個掛け合わせたものの積なので最終的にam+n個掛け合わせているのと等しくなります。
したがって、a^m×a^nは指数同士を足してa^{m+n}となることがわかります。

指数の差(m>nのとき)
 指数同士を引くのは底が同じ数同士を割ったときです。ただしa\neq0です。
a^m÷a^nm>nのときを考えるとam個掛け合わせたものをan個掛け合わせたもので割っているので最終的にam-n個掛け合わせているのと等しくなります。
したがって、a^m÷a^nは指数同士を引いてa^{m-n}となることがわかります。
ここでa^m÷a^n
a^m÷a^n=a^m\times\frac{1}{a^n}
と書くことができ、またa^{m-n}
a^{m-n}=a^{m+(-n)}
さらに指数の和より
a^{m+(-n)}=a^m\times a^{-n}
となることから
a^m\times\frac{1}{a^n}=a^m\times a^{-n}
すなわち
\Large\frac{1}{a^n}=a^{-n}
が成り立ちます。
また、このことと指数の和から0乗は
\begin{align*}\large a^n×a^{-n}&=a^{n-n}\\[0.5em]&=\underline{a^0=1}\end{align*}
となります。

指数の積・商

指数の積
 指数同士を掛けるのは指数のついた数全体をべき乗したときです。
(a^m)^nの場合はa^mn個掛け合わせます。a^mam個掛け合わせたものなので最終的にam×n個掛け合わせているのと等しくなります。
したがって、(a^m)^nは指数同士を掛けてa^{mn}となることがわかります。
\large(a^m)^n=a^{mn}=(a^n)^m
また、(a^n)^mも同様にしてa^{mn}となることからaの指数と括弧の指数を入れ替えることができることがわかります。
\large(ab^p c^q)^n=a^n b^{pn} c^{qn}
括弧の中身が複数の因数を含む場合は因数それぞれをべき乗します。

 a^\frac{1}{n}an乗根を表し、
\Large a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}
となります。
例えばaの正の平方根は
\Large\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}
となります。
なので、指数の積の
\begin{align*}\left(a^\frac{1}{n}\right)^n&=a^{\frac{1}{n}\times n}\\[0.5em]&=a^1\\[0.5em]&=a\end{align*}
(\sqrt[n]{a})^n=a
に相当します。

累乗根と有理数の指数
また、a^nm乗根はa^\frac{n}{m}と表せます。

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