べき乗の計算法則は、以下の通りです。
正の数$a, p, q$と任意の実数$b, c, k$について
これらべき乗の計算法則は、指数法則と呼ばれます。
\begin{align}a^b\times
a^c&=a^{b+c}\\[1em]\frac{a^b}{a^c}&=a^{b-c}\\[1em]\left(a^b\right)^c&=a^{bc}\\[1em](pq)^k&=p^k
q^k\\[1em]\left(\frac{p}{q}\right)^k&=\frac{p^k}{q^k}\end{align}
指数法則はべき乗の基礎である累乗（自然数乗）の計算法則が基礎となっているので、基本的に累乗の範囲で上の各計算法則が成り立つことを説明します。
$(1)\ a^b\times a^c=a^{b+c}$
$(1)$はべき乗の積は指数の和になるという計算法則です。
まず、累乗$a^n$とは、$a$を$n$個掛け合わせることを表しており、
実数$a$と自然数$n$について
と定義されます。
\[\large a^n=\overbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}^{n\text{個}}\]
すると、$a^b\times a^c$は
\begin{align*}a^b\times a^c&=(\overbrace{a\times a\times
\cdots\times a\times a}^{b\text{個}})\times(\overbrace{a\times a\times
\cdots\times a\times a}^{c\text{個}})\\[0.5em]&=\overbrace{a\times
a\times \cdots\times a\times
a}^{b+c\text{個}}\\[0.5em]&=a^{b+c}\end{align*}
となり、
\[\large a^b\times a^c=a^{b+c}\]
が成り立つことがわかります。
$(2)\ \dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$
$(2)$はべき乗の商は指数の差になるという計算法則です。
累乗の定義より、$\dfrac{a^b}{a^c}$は
\[\frac{a^b}{a^c}=\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}^{b\text{個}}}{\underbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}_{c\text{個}}}\]
となります。
$b>c$のとき、
\begin{align*}\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}^{b\text{個}}}{\overbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}^{c\text{個}}}&=\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots\times
a}^{c\text{個}}\times\overbrace{a\times a\times \cdots\times
a}^{b-c\text{個}}}{\underbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}_{c\text{個}}}\\[0.5em]&=\overbrace{a\times a\times \cdots\times
a}^{b-c\text{個}}&(\because\text{約分})\\[0.5em]&=a^{b-c}\end{align*}
となるので、
\[\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}\]
が成り立ちます。
$b=c$のとき、
\[\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}^{b\text{個}}}{\underbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}_{c\text{個}}}=1\]
となりますが、
$0$でない実数$a$について
と$0$乗が定義されているため、
\[a^0=1\]
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}&=1\\[0.5em]&=a^0\\[0.5em]&=a^{b-c}\end{align*}
となり、$(2)$が成り立つことがわかります。
$b<c$のとき、
\begin{align*}\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}^{b\text{個}}}{\underbrace{a\times a\times \cdots\times a\times
a}_{c\text{個}}}&=\frac{\overbrace{a\times a\times \cdots\times
a\times a}^{b\text{個}}}{\underbrace{a\times a\times \cdots\times
a}_{b\text{個}}\times\underbrace{a\times a\times \cdots\times
a}_{c-b\text{個}}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\underbrace{a\times a\times
\cdots\times
a}_{c-b\text{個}}}&(\because\text{約分})\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{c-b}}\end{align*}
となりますが、
$0$でない実数$a$と自然数$n$について
と負の整数乗が定義されているので、
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]
\begin{align*}\frac{a^b}{a^c}=&\frac{1}{a^{c-b}}\\[0.5em]&=a^{-(c-b)}\\[0.5em]&=a^{b-c}\end{align*}
となり、$(2)$が成り立つことがわかります。
したがって、$b$と$c$の大小関係にかかわらず
\[\large\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}\]
が成り立つことがわかります。
$(3)\ \bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}$
$(3)$はべき乗のべき乗は指数の積になるという計算法則です。
累乗の定義より、$\bigl(a^b\bigr)^c$は
\begin{align*}\bigl(a^b\bigr)^c&=\overbrace{a^b\times
a^b\times\cdots\times
a^b}^{c\text{個}}\\[0.5em]&=\overbrace{(\underbrace{a\times
a\times\cdots\times a}_{b\text{個}})\times(\underbrace{a\times
a\times\cdots\times
a}_{b\text{個}})\times\cdots\times(\underbrace{a\times
a\times\cdots\times
a}_{b\text{個}})}^{c\text{個}}\\[0.5em]&=\overbrace{a\times
a\times\cdots\times a}^{b\times c\text{個}}\\[0.5em]&=a^{b\times
c}\\[0.5em]&=a^{bc}\end{align*}
となり、
\[\large\bigl(a^b\bigr)^c=a^{bc}\]
が成り立つことがわかります。
$(4)\ (pq)^k$
累乗の定義より、$(pq)^k$は
\begin{align*}(pq)^k&=\overbrace{pq\times pq\times\cdots\times
pq\times pq}^{k\text{個}}\\[0.5em]&=\overbrace{(p\times
q)\times(p\times q)\times\cdots\times(p\times
q)}^{k\text{個}}\\[0.5em]&=\overbrace{p\times p\times\cdots\times
p}^{k\text{個}}\times\overbrace{q\times q\times\cdots\times
q}^{k\text{個}}\\[0.5em]&=p^k\times q^k\\[0.5em]&=p^k
q^k\end{align*}
となり、
\[\large(pq)^k=p^k q^k\]
が成り立つことがわかります。
$(5)\ \left\dfrac{p}{q}\right)^k=\dfrac{p^k}{q^k}$
累乗の定義より、$\left(\dfrac{p}{q}\right)^k$は
\begin{align*}\left(\frac{p}{q}\right)^k&=\overbrace{\frac{p}{q}\times\frac{p}{q}\times\cdots\times\frac{p}{q}\times\frac{p}{q}}\\[0.5em]&=\frac{\overbrace{p\times
p\times\cdots\times p\times p}^{k\text{個}}}{\overbrace{q\times
q\times\cdots\times q\times
q}^{k\text{個}}}\\[0.5em]&=\frac{p^k}{q^k}\end{align*}
となり、
\[\large\left(\frac{p}{q}\right)^k=\frac{p^k}{q^k}\]
が成り立つことがわかります。
これら計算法則は整数乗、有理数乗、実数乗に拡張しても同様に成り立ちます。
ちなみに、$(3)$は指数の積になるべき乗の計算法則でしたが、指数の商になるものも存在します。
それは、
それは、
正の数$a$と実数$b$、自然数$n$について
です。
\[\sqrt[n]{a^b}=a^\frac{b}{n}\]
これは、有理数乗の定義
正の数$a$と自然数$n$について
と$(3)$を利用して
\[\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}\]
\begin{align*}\sqrt[n]{a^b}&=\bigl(a^b\bigr)^\frac{1}{n}\\[0.5em]&=a^\frac{b}{n}\end{align*}
となることから導けるもので、有理数乗が既知であるなら$(3)$の1つの場合に数えられる計算法則です。
(2025/8)内容を修正しました。
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