2円$x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0$と$x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0$の交点を通る円・直線の方程式は
\begin{align*}(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)&=0\\
(k=-1:直線、k\neq-1:円)\end{align*}
となります。
なぜこの方程式で表すことができるのでしょうか？
2円の交点は
この連立方程式を解く方法の1つ、加減法を利用することで2円の交点を通る円や直線の方程式をつくることができます。
\[\left\{\begin{array}{lr}x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0&\cdots\text{(a)}\\[0.5em]x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0&\cdots\text{(b)}\end{aligned}\right.\]
という連立方程式を解くことで求めることができます。この連立方程式を解く方法の1つ、加減法を利用することで2円の交点を通る円や直線の方程式をつくることができます。
$\text{(a)}+k\text{(b)}$を計算すると
\[(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)=0\]
となります。
この方程式は上の連立方程式からできたものなので、必ず連立方程式の解である2円の交点を通ります。
そして、$k=-1$のとき$x^2,y^2$の項が消えて
\[(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y+(c_1-c_2)=0\]
となり、直線の方程式となります。
$k\neq-1$のときは
\begin{align*}(1+k)x^2+(1+k)y^2+(a_1+ka_2)x+(b_1+kb_2)y+(c_1+kc_2)&=0\\[0.5em]x^2+y^2+\frac{a_1+ka_2}{1+k}x+\frac{b_1+kb_2}{1+k}y+\frac{c_1+kc_2}{1+k}&=0\end{align*}
となり、円の方程式となります。
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