2円の交点を通る円・直線の方程式 ~ 数学について考えてみる

2022年5月24日

2円の交点を通る円・直線の方程式

PLUMBAGO

　2円

x^{2} + y^{2} + a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

$x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0$ と

x^{2} + y^{2} + a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

$x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0$ の交点を通る円・直線の方程式は

\begin{aligned} (x^{2} + y^{2} + a_{1} x + b_{1} y + c_{1}) + k (x^{2} + y^{2} + a_{2} x + b_{2} y + c_{2}) & = 0 \\ (k = - 1 : 直 線 、 k \neq - 1 : 円) \end{aligned}

$\begin{align*}(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)&=0\\ (k=-1:直線、k\neq-1:円)\end{align*}$

となります。

なぜこの方程式で表すことができるのでしょうか？

　2円の交点は

\left\{\begin{array}{lr}x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0&\cdots\text{(a)}\\[0.5em]x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0&\cdots\text{(b)}\end{aligned}\right.

$\left\{\begin{array}{lr}x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0&\cdots\text{(a)}\\[0.5em]x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0&\cdots\text{(b)}\end{aligned}\right.$

という連立方程式を解くことで求めることができます。
この連立方程式を解く方法の1つ、加減法を利用することで2円の交点を通る円や直線の方程式をつくることができます。

(a) + k (b)

$\text{(a)}+k\text{(b)}$ を計算すると

(x^{2} + y^{2} + a_{1} x + b_{1} y + c_{1}) + k (x^{2} + y^{2} + a_{2} x + b_{2} y + c_{2}) = 0

$(x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1)+k(x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2)=0$

となります。

この方程式は上の連立方程式からできたものなので、必ず連立方程式の解である2円の交点を通ります。

そして、

k = - 1

$k=-1$ のとき

x^{2}, y^{2}

$x^2,y^2$ の項が消えて

(a_{1} - a_{2}) x + (b_{1} - b_{2}) y + (c_{1} - c_{2}) = 0

$(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y+(c_1-c_2)=0$

となり、直線の方程式となります。

k \neq - 1

$k\neq-1$ のときは

\begin{aligned} (1 + k) x^{2} + (1 + k) y^{2} + (a_{1} + k a_{2}) x + (b_{1} + k b_{2}) y + (c_{1} + k c_{2}) & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + \frac{a_{1} + k a_{2}}{1 + k} x + \frac{b_{1} + k b_{2}}{1 + k} y + \frac{c_{1} + k c_{2}}{1 + k} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*}(1+k)x^2+(1+k)y^2+(a_1+ka_2)x+(b_1+kb_2)y+(c_1+kc_2)&=0\\[0.5em]x^2+y^2+\frac{a_1+ka_2}{1+k}x+\frac{b_1+kb_2}{1+k}y+\frac{c_1+kc_2}{1+k}&=0\end{align*}$

となり、円の方程式となります。

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