整数は何桁？0でない数が現れるのは小数第何位？

「次の問題を解け。$\log_{10}3=0.4771$とする。

(1)$3^{30}$は何桁の整数か？

(2)$0.3^{15}$は小数第何位に$0$でない数が現れるか？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

(1)整数は何桁？

　整数が何桁かを求めるために、例として3桁の整数について考えます。
3桁の整数は$100\sim999$です。任意の3桁の整数を$x$とおき、不等式で表すと

$$100\leqq x<1000$$

となります。これの各辺の対数をとると常用対数をもちいて

$$\log_{10}100=2\leqq\log_{10}x<3=\log_{10}1000\tag{a}$$

関連：指数関数の大小関係、対数関数の大小関係

となります。この両端の$2,3$というのは$100,1000$それぞれの$0$の並ぶ個数なので、桁数はこれに$1$を加えてそれぞれ3桁、4桁となります。
$x$は3桁の整数なので、$\text{(a)}$のどこを見てそれを示すかというと大きい方の数がちょうど桁数と等しい数になっています。
したがって、大きい方の数を見て$x$は3桁の整数であるということができます。

　問題の場合は$3^{30}$の対数をとると

$$\log_{10}3^{30}=30\log_{10}3$$

関連：対数の計算法則

$\log_{10}3=0.4771$なので、

$$\log_{10}3^{30}=30×0.4771=14.313$$

となるから

$$\log_{10}10^{14}=14<\log_{10}3^{30}<15=\log_{10}10^15$$

この不等式の大きい方を見て$3^{30}$は15桁の整数とわかります。

(2)$0$でない数が現れるのは小数第何位？

　考え方は(1)と同じです。
例として小数第3位に$0$でない数が現れる数を考えます。
小数第3位に$0$でない数が現れるということは一の位から小数第2位までの3桁は$0$ということなので$0.001\sim0.00999\cdots$が当てはまります。この中の任意の小数を$x$とおき、不等式で表すと

$$0.001\leqq x<0.01$$

となります。これの各辺の対数をとると常用対数をもちいて

$$\log_{10}0.001=-3\leqq\log_{10}x<-2=\log_{10}0.01$$

となります。この両端の$-3,-2$の絶対値は一の位から$0$が続く個数なので、そのままこの値が$0$でない数が現れる小数点以下の桁の数（小数第○位）となります。

したがって、小さい方の数（絶対値の大きい方）を見て$x$は小数第3位に$0$でない数が現れるということができます。

　問題の場合は$0.3^{15}$の対数をとると

$$\begin{align*}\log_{10}0.3^{15}&=15\log_{10}(3×10^{-1})\\[0.5em]&=15(\log_{10}3+\log_{10}10^{-1})\\[0.5em]&=15(\log_{10}3-1)\end{align*}$$

$\log_{10}3=0.4771$なので、

$$\begin{align*}\log_{10}0.3^{15}&=15(0.4771-1)\\[0.5em]&=15×(-0.5229)=-7.8435\end{align*}$$

となるから

$$\log_{10}10^{-7}=-7<\log_{10}0.3^{15}<-6=\log_{10}10^{-6}$$

この不等式の絶対値の大きい方を見て$0.3^{15}$は小数第7位に0でない数が現れるとわかります。

　以上より上のような問題は

1. 常用対数をもちいて対数をとり値を求める。
2. $n<\log_{10}x<n+1$という不等式をつくる。
3. 不等式の絶対値の大きい方が答え！

という手順で解くことができます。