斜辺と鋭角の1つの角度しかわからない直角三角形の面積を求めるには ~ 数学について考えてみる

2022年5月13日

PLUMBAGO

　斜辺の長さが

r

$r$ 、鋭角の1つの大きさが

θ

$θ$ である直角三角形の面積を求めるにはどのように考えればよいでしょうか？

　この直角三角形

ABC

$\text{ABC}$ の他の2辺の長さを三角比を利用して求めると

\begin{aligned} \sin θ & = \frac{AC}{r} \\ \cos θ & = \frac{BC}{r} \end{aligned}

$\begin{align*}\sinθ&=\frac{\text{AC}}{r}\\[1em]\cosθ&=\frac{\text{BC}}{r}\end{align*}$

であるから、

\begin{aligned} AC & = r \sin θ \\ BC & = r \cos θ \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AC}&=r\sinθ\\[1em]\text{BC}&=r\cosθ\end{align*}$

となります。

AC

$\text{AC}$ と

BC

$\text{BC}$ は垂直であるから

△ ABC

$△\text{ABC}$ の面積は

\frac{1}{2} r \cos θ \times r \sin θ = \frac{r^{2} \sin θ \cos θ}{2}

$\frac{1}{2}r\cosθ×r\sinθ=\frac{r^2\sinθ\cosθ}{2}$

で求めることができます。

また2倍角の公式

\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ

$\sin2θ=2\sinθ\cosθ$

より

\begin{aligned} \frac{r^{2} \sin θ \cos θ}{2} & = \frac{r^{2} \frac{1}{2} \times 2 \sin θ \cos θ}{2} \\ = \frac{r^{2} \sin 2 θ}{4} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{r^2\sinθ\cosθ}{2}&=\frac{r^2\cfrac{1}{2}×2\sinθ\cosθ}{2}\\[0.5em]&=\frac{r^2\sin2θ}{4}\end{align*}$

とすることができます。

この式は合同な直角三角形を2つ組み合わせて二等辺三角形をつくって面積を求める方法を表していることがわかります。

数学について考えてみる