この直角三角形\text{ABC}の他の2辺の長さを三角比を利用して求めると
\begin{align*}\sinθ&=\frac{\text{AC}}{r}\\[1em]\cosθ&=\frac{\text{BC}}{r}\end{align*}
であるから、
\begin{align*}\text{AC}&=r\sinθ\\[1em]\text{BC}&=r\cosθ\end{align*}
となります。
\text{AC}と\text{BC}は垂直であるから△\text{ABC}の面積は
\frac{1}{2}r\cosθ×r\sinθ=\frac{r^2\sinθ\cosθ}{2}
で求めることができます。
また2倍角の公式
\sin2θ=2\sinθ\cosθ
より
\begin{align*}\frac{r^2\sinθ\cosθ}{2}&=\frac{r^2\cfrac{1}{2}×2\sinθ\cosθ}{2}\\[0.5em]&=\frac{r^2\sin2θ}{4}\end{align*}
とすることができます。
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