絶対値がある2次方程式を解く

$$\Large(x-2)^2+|x-2|-6=0$$

「上の方程式を解け。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　2通りの解き方で解いてみます。

1. 先に場合分け

　絶対値の中身によって場合分けをします。

a. $x-2\geqq0$のとき

$$\begin{align*}(x-2)^2+(x-2)-6&=0\\[0.5em]\bigl\{(x-2)+3\bigr\}\bigl\{(x-2)-2\bigr\}&=0\\[0.5em](x+1)(x-4)&=0\\[0.5em]x&=-1,4\end{align*}$$

b. $x-2<0$のとき

$$\begin{align*}(x-2)^2-(x-2)-6&=0\\[0.5em]\bigl\{(x-2)+2\bigr\}\bigl\{(x-2)-3\bigr\}&=0\\[0.5em]x(x-5)&=0\\[0.5em]x&=0,5\end{align*}$$

以上より$x=-1,0,4,5$となります。

2. 先に因数分解

　$(x-2)^2=|x-2|^2$であることを利用して因数分解をします。

$$\begin{align*}|x-2|^2+|x-2|-6&=0\\[0.5em]\bigl(|x-2|+3\bigr)\bigl(|x-2|-2\bigr)&=0\end{align*}$$

場合分けして解きます。

a.$x-2\geqq0$のとき

$$\begin{align*}\bigl\{(x-2)+3\bigr\}\bigl\{(x-2)-2\bigr\}&=0\\[0.5em](x+1)(x-4)&=0\\[0.5em]x&=-1,4\end{align*}$$

b. $|x-2|-2=0$のとき

$$\begin{align*}\bigl\{-(x-2)+3\bigr\}\bigl\{-(x-2)-2\bigr\}&=0\\[0.5em](-x+5)x&=0\\[0.5em]-x(x-5)&=0\\[0.5em]x&=0,5\end{align*}$$

以上より$x=-1,0,4,5$となります。

関連：$x^2$の係数が$1$の2次式の因数分解はどうやる？

関連：2次方程式を解く②（因数分解を利用する）