x2x2の係数が11のxxの2次式
x2+px+q(p,q:実数)x2+px+q(p,q:実数)
はどのようにしてxxの1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいのでしょうか?
q=0q=0のとき
q=0q=0のとき、xxの2次式はx2+pxx2+pxとなります。
x2=x⋅xx2=x⋅x、すなわちx2x2はxxを2つ掛け合わせたものなので、この2次式はすべての項が因数としてxxをもちます。
したがって、xxを括りだすことができ、
x2+px=x(x+p)x2+px=x(x+p)
と因数分解できます。
p=0p=0のとき
p=0p=0のとき、xxの2次式はx2+qx2+qとなります。
この2次式は因数分解公式
x2−a2=(x+a)(x−a)(a:定数)x2−a2=(x+a)(x−a)(a:定数)
を利用して因数分解しますが、因数分解後の式はqqの値によって異なる形となります。
qqが負の数のとき
qqが負の数のとき、q=−q′q=−q′(q′:q′:正の数)とおくことができ、
x2+q=x2−q′x2+q=x2−q′
と書くことができます。
ここで、q′q′の正の平方根√q′√q′をもちいてq′=(√q′)2q′=(√q′)2と表せるので
x2−q′=x2−(√q′)2x2−q′=x2−(√q′)2
となり、先ほどの因数分解公式より
x2−(√q′)2=(x+√q′)(x−√q′)x2−(√q′)2=(x+√q′)(x−√q′)
となる、すなわち
x2+q=(x+√q′)(x−√q′)(q′=−q)x2+q=(x+√q′)(x−√q′)(q′=−q)
と因数分解することができます。
qqが正の数のとき
qqが正の数のときは、2次式を
x2+q=x2−(−q)x2+q=x2−(−q)
と変形します。−q−qは負の数であり、これの平方根は実数にはないため、実数係数の範囲では因数分解できません。
−q−qの平方根のうち++の符号のものは虚数√qi√qiとなります。
すると、
すると、
x2−(−q)=x2−(√qi)2=(x+√qi)(x−√qi)x2−(−q)=x2−(√qi)2=(x+√qi)(x−√qi)
すなわち、
x2+q=(x+√qi)(x−√qi)x2+q=(x+√qi)(x−√qi)
となり、複素数係数の範囲での因数分解となります。
p≠0p≠0かつq≠0q≠0のとき
p,qp,qがともに00でないときは、まず因数分解公式
x2+2ax+a2=(x+a)2x2−2ax+a2=(x−a)2x2+(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)(a,α,β:定数)x2+2ax+a2=(x+a)2x2−2ax+a2=(x−a)2x2+(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)(a,α,β:定数)
で因数分解できるかを考えます。
3つの因数分解公式のうちの2つ
xxの2次式のxxの項の係数を22で割り、22乗して定数項と等しくなれば上の因数分解公式を利用できます。
x2+2ax+a2=(x+a)2x2−2ax+a2=(x−a)2x2+2ax+a2=(x+a)2x2−2ax+a2=(x−a)2
が利用できるかどうかは簡単に判別できます。xxの2次式のxxの項の係数を22で割り、22乗して定数項と等しくなれば上の因数分解公式を利用できます。
残る1つの因数分解公式
すると、
この方法は主に整数係数の範囲で因数分解するときに利用され、連立方程式はqの因数分解によって解きます。
x2+(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)x2+(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)
を利用するには、x2+px+q=x2+(α+β)x+αβとして、係数と定数項に着目します。すると、
{p=α+βq=αβ
という関係があることがわかるので、この連立方程式からα,βを求め、因数分解後の式を導き出します。
この方法は主に整数係数の範囲で因数分解するときに利用され、連立方程式はqの因数分解によって解きます。
例えば、
因数分解公式より
x2−2x−35
という2次式を整数係数の範囲で因数分解する場合を考えます。整数係数の範囲なので、α,βは整数に限定されます。
因数分解公式より
x2−2x−35=(x+α)(x+β)
というように因数分解しようとしているので、
x2−2x−35=(α+β)x+αβ
より
{−2=α+β−35=αβ
という連立方程式が成り立ちます。すなわち、因数分解後の因数となるそれぞれの1次式の定数項α,βは足すと−2、掛けると−35となるような整数であるということです。
ここで、連立されている2つの方程式の右辺はともに交換法則が成り立ち、αの値とβの値を入れ替えても成り立ちます。(このような右辺の整式のことを対称式といいます。)
これは、この連立方程式の解は1つではなく、αの値とβの値を入れ替えたもう1つの解があるということなので、解をただ1つにするために、今回はα>βという条件を付け加えて求めます。
これは、この連立方程式の解は1つではなく、αの値とβの値を入れ替えたもう1つの解があるということなので、解をただ1つにするために、今回はα>βという条件を付け加えて求めます。
足して−2となるような整数の組は無数にあるので、まずは掛けて−35となるような整数の組を考えます。このとき、解(α,β)の候補として書き出すので、左の整数のほうが大きくなるようにします。
−35となるような整数の組は
これらの組の中で、和が−2となるのは(5,−7)のみです。
−35となるような整数の組は
(35,−1),(7,−5),(5,−7),(1,−35)
の4組があります。これらの組の中で、和が−2となるのは(5,−7)のみです。
したがって、(α,β)=(5,−7)が連立方程式の解であるとわかり、
x2−2x−35=(x+5){x+(−7)}∴x2−2x−35=(x+5)(x−7)
と因数分解できることがわかります。
このように、整数係数の範囲であれば掛けてqになる数の組が限定されるので、α,βが求めやすくなっています。
この方法でα,βが求められない、すなわち因数分解できない2次式の場合は次の方法を利用して因数分解します。
上記の方法で因数分解できなかった場合は、平方完成と因数分解公式
x2−a2=(x+a)(x−a)
を利用して因数分解します。
まずは2次式x2+px+qを平方完成します。平方完成とは、2次式を(x+a)2と定数項の和に変形することです。
x2+pxの部分に着目すると、(x+a)2=x2+2ax+a2よりa=p2のとき、すなわち(x+p2)2の展開式x2+px+p24の一部であることがわかるので、
x2+px+q=(x2+px)+q={(x2+px+p24)−p24}+q={(x+p2)2−p24}+q=(x+p2)2−p24+q=(x+p2)2−p2−4q4
と変形することができます。
x+p2=Xとおくと
(x+p2)2−p2−4q4=X2−p2−4q4
となり、p=0のときと似たXの2次式になるので、同様の場合分けをして因数分解公式
x2−a2=(x+a)(x−a)
を利用して因数分解します。
p2−4q4が正の数のとき
p2−4q4が正の数のとき、これの正の平方根は√p2−4q4=√p2−4q2なので、
X2−p2−4q4=X2−(√p2−4q2)2
と書くことができます。
すると、先ほどの因数分解公式より
X2−(√p2−4q2)2=(X+√p2−4q2)(X−√p2−4q2)
となり、Xを戻すと
(X+√p2−4q2)(X−√p2−4q2)={(x+p2)+√p2−4q2}{(x+p2)−√p2−4q2}=(x+p2+√p2−4q2)(x+p2−√p2−4q2)=(x+p+√p2−4q2)(x+p−√p2−4q2)
となります。
したがって、
x2+px+q=(x+p+√p2−4q2)(x+p−√p2−4q2)
と因数分解できます。
p2−4q4が負の数のとき
p2−4q4が負の数のとき、これの平方根のうち+の符号のものは√p2−4q2iなので、
X2−p2−4q4=X2−(√p2−4q2i)2
と書くことができます。
すると、先ほどの因数分解公式より
X2−(√p2−4q2i)2=(X+√p2−4q2i)(X−√p2−4q2i)
となり、Xを戻すと
(X+√p2−4q2i)(X−√p2−4q2i)={(x+p2)+√p2−4q2i}{(x+p2)−√p2−4q2i}=(x+p2+√p2−4q2i)(x+p2−√p2−4q2i)
となります。
したがって、
x2+px+q=(x+p+√p2−4q2i)(x+p−√p2−4q2i)
と因数分解できます。
Share: