x^2の係数が1の2次式の因数分解はどうやる？

　$x^2$の係数が$1$の2次式、つまり$x^2+px+q$の因数分解をするにはどうすればよいのでしょうか？

　$x^2+px+q$を因数分解するには、展開公式

$$(x+\alpha)(x+\beta)=x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$$

を使って考えます。

$x^2+px+q=x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$とすると各項の係数は

$$\begin{cases}p=\alpha+\beta\\[0.5em]q=\alpha\beta\end{cases}$$

という関係があることがわかり、

$$x^2+px+q=(x+\alpha)(x+\beta)$$

となるから、因数分解すると$x+α$のような1次式が2つ因数として出てくることがわかります。

また上の係数の関係式より、足して$x$の係数$p$になり、掛けて$q$になるような数が1次式の定数項$α,β$になることがわかります。このことが因数分解するときのヒントとなります。

　例として$x^2-2x-35$の因数分解を考えます。

因数分解したときの式が$(x+\alpha)(x+\beta)$であるとすると、

$$x^2-2x-35=(x+\alpha)(x+\beta)$$

が成り立ちます。

また、
$$(x+\alpha)(x+\beta)=x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$$
であるから、係数を比較して

$$\begin{cases}-2=\alpha+\beta&\cdots(1)\\[0.5em]-35=\alpha\beta&\cdots(2)\end{cases}$$

となります。

$(1)$について考えると足して$-2$になるような数の組み合わせは無数にあります。この時点では手のつけようがないので、まずは$(2)$の方から考えていきましょう。

　$(2)$の掛けて$-35$になる数の組み合わせは限られています。それは$-35$の約数だけだからです。
$-35$の約数は

$$-35,-7,-5,-1,1,5,7,35$$

の8つです。この中で掛けて$-35$になる組み合わせを$(α,β)$という形で書くと

$$\begin{array}{l}(-35,1),&(1,-35),\\[0.5em](-7,5),&(5,-7),\\[0.5em](-5,7),&(7,-5),\\[0.5em](-1,35),&(35,-1)\end{array}$$

の8種類になります。

ここで、約数以外にも$\left(\dfrac{35}{2},-2\right)$といった分数を含むような組み合わせもあるのでは？と思うかもしれません。
しかし、その場合は$(1)$が成り立たなくなるので約数に限定されます。

上の8種類の候補のうち$(1)$を成り立たせることができるのは、$(-7,5),(5,-7)$の2種類だけです。
したがって、

$$\begin{align*}(\alpha,\beta)=(-7,5)のとき\\ x^2-2x-35&=(x-7)(x+5)\\[1em](\alpha,\beta)=(5,-7)のとき\\ x^2-2x-35&=(x+5)(x-7)\end{align*}$$

交換法則より$(x-7)(x+5)=(x+5)(x-7)$が成り立つので、どちらも同じであるから因数分解すると
$$x^2-2x-35=(x+5)(x-7)$$
となることがわかります。

交換法則より$α,β$を入れ替えただけの候補は同じ結果になるので、そういった候補を省いて半分に絞り込むことができます。

関連：$x^2$の係数が$1$以外の2次式の因数分解はどうやる？

関連：2次方程式を解く(1)