x^2の係数が1のxの2次式の因数分解 ~ 数学について考えてみる

x^{2}

$x^2$ の係数が

1

$1$ の

x

$x$ の2次式

x^{2} + p x + q (p, q : 実 数)

$\large x^2+px+q\quad(p,q:実数)$

はどのようにして

x

$x$ の1次式同士の掛け算の形まで因数分解すればよいのでしょうか？

$q=0$ のとき

q = 0

$q=0$ のとき、

x

$x$ の2次式は

x^{2} + p x

$x^2+px$ となります。

x^{2} = x \cdot x

$x^2=x\cdot x$ 、すなわち

x^{2}

$x^2$ は

x

$x$ を2つ掛け合わせたものなので、この2次式はすべての項が因数として

x

$x$ をもちます。

したがって、

x

$x$ を括りだすことができ、

x^{2} + p x = x (x + p)

$\large x^2+px=x(x+p)$

と因数分解できます。

$p=0$ のとき

p = 0

$p=0$ のとき、

x

$x$ の2次式は

x^{2} + q

$x^2+q$ となります。

この2次式は因数分解公式

x^{2} - a^{2} = (x + a) (x - a) (a : 定 数)

$x^2-a^2=(x+a)(x-a)\quad(a:定数)$

を利用して因数分解しますが、因数分解後の式は

q

$q$ の値によって異なる形となります。

$q$ が負の数のとき

q

$q$ が負の数のとき、

q = - q^{'}

$q=-q'$ （

q^{'} :

$q':$ 正の数）とおくことができ、

x^{2} + q = x^{2} - q^{'}

$x^2+q=x^2-q'$

と書くことができます。

ここで、

q^{'}

$q'$ の正の平方根

\sqrt{q^{'}}

$\sqrt{q'}$ をもちいて

q^{'} = {(\sqrt{q^{'}})}^{2}

$q'=\left(\sqrt{q'}\right)^2$ と表せるので

x^{2} - q^{'} = x^{2} - {(\sqrt{q^{'}})}^{2}

$x^2-q'=x^2-\left(\sqrt{q'}\right)^2$

となり、先ほどの因数分解公式より

x^{2} - {(\sqrt{q^{'}})}^{2} = (x + \sqrt{q^{'}}) (x - \sqrt{q^{'}})

$x^2-\left(\sqrt{q'}\right)^2=\left(x+\sqrt{q'}\right)\left(x-\sqrt{q'}\right)$

となる、すなわち

x^{2} + q = (x + \sqrt{q^{'}}) (x - \sqrt{q^{'}}) (q^{'} = - q)

$\large x^2+q=\left(x+\sqrt{q'}\right)\left(x-\sqrt{q'}\right)\quad(q'=-q)$

と因数分解することができます。

$q$ が正の数のとき

q

$q$ が正の数のときは、2次式を

x^{2} + q = x^{2} - (- q)

$x^2+q=x^2-(-q)$

と変形します。

- q

$-q$ は負の数であり、これの平方根は実数にはないため、実数係数の範囲では因数分解できません。

- q

$-q$ の平方根のうち

+

$+$ の符号のものは虚数

\sqrt{q} i

$\sqrt{q}i$ となります。
すると、

\begin{aligned} x^{2} - (- q) & = x^{2} - (\sqrt{q} i)^{2} \\ = (x + \sqrt{q} i) (x - \sqrt{q} i) \end{aligned}

$\begin{align*}x^2-(-q)&=x^2-\bigl(\sqrt{q}i\bigr)^2\\[0.5em]&=\bigl(x+\sqrt{q}i\bigr)\bigl(x-\sqrt{q}i\bigr)\end{align*}$

すなわち、

x^{2} + q = (x + \sqrt{q} i) (x - \sqrt{q} i)

$\large x^2+q=\bigl(x+\sqrt{q}i\bigr)\bigl(x-\sqrt{q}i\bigr)$

となり、複素数係数の範囲での因数分解となります。

$p\neq0$ かつ $q\neq0$ のとき

p, q

$p,q$ がともに

0

$0$ でないときは、まず因数分解公式

\begin{aligned} x^{2} + 2 a x + a^{2} & = (x + a)^{2} \\ x^{2} - 2 a x + a^{2} & = (x - a)^{2} \\ x^{2} + (α + β) x + α β & = (x + α) (x + β) & (a, α, β : 定 数) \end{aligned}

$\begin{align*}\large x^2+2ax+a^2&\large=(x+a)^2\\[1em]\large x^2-2ax+a^2&\large=(x-a)^2\\[1em]\large x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta&\large=(x+\alpha)(x+\beta)&(a,\alpha,\beta:定数)\end{align*}$

で因数分解できるかを考えます。

　3つの因数分解公式のうちの2つ

\begin{aligned} x^{2} + 2 a x + a^{2} & = (x + a)^{2} \\ x^{2} - 2 a x + a^{2} & = (x - a)^{2} \end{aligned}

$\begin{align*}x^2+2ax+a^2&=(x+a)^2\\[1em]x^2-2ax+a^2&=(x-a)^2\end{align*}$

が利用できるかどうかは簡単に判別できます。

x

$x$ の2次式の

x

$x$ の項の係数を

2

$2$ で割り、

2

$2$ 乗して定数項と等しくなれば上の因数分解公式を利用できます。

　残る1つの因数分解公式

x^{2} + (α + β) x + α β = (x + α) (x + β)

$x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=(x+\alpha)(x+\beta)$

を利用するには、

x^{2} + p x + q = x^{2} + (α + β) x + α β

$x^2+px+q=x^2+(α+β)x+αβ$ として、係数と定数項に着目します。
すると、

{\begin{cases} p = α + β \\ q = α β \end{cases}

$\begin{cases}p=\alpha+\beta\\[0.5em]q=\alpha\beta\end{cases}$

という関係があることがわかるので、この連立方程式から

α, β

$α,β$ を求め、因数分解後の式を導き出します。
この方法は主に整数係数の範囲で因数分解するときに利用され、連立方程式は

q

$q$ の因数分解によって解きます。

例えば、

x^{2} - 2 x - 35

$\large x^2-2x-35$

という2次式を整数係数の範囲で因数分解する場合を考えます。整数係数の範囲なので、

α, β

$α,β$ は整数に限定されます。
因数分解公式より

x^{2} - 2 x - 35 = (x + α) (x + β)

$x^2-2x-35=(x+\alpha)(x+\beta)$

というように因数分解しようとしているので、

x^{2} - 2 x - 35 = (α + β) x + α β

$x^2-2x-35=(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$

より

{\begin{cases} - 2 = α + β \\ - 35 = α β \end{cases}

$\begin{cases}-2=\alpha+\beta\\[0.5em]-35=\alpha\beta\end{cases}$

という連立方程式が成り立ちます。すなわち、因数分解後の因数となるそれぞれの1次式の定数項

α, β

$α,β$ は足すと

- 2

$-2$ 、掛けると

- 35

$-35$ となるような整数であるということです。

ここで、連立されている2つの方程式の右辺はともに交換法則が成り立ち、

α

$α$ の値と

β

$β$ の値を入れ替えても成り立ちます。（このような右辺の整式のことを対称式といいます。）
これは、この連立方程式の解は1つではなく、

α

$α$ の値と

β

$β$ の値を入れ替えたもう1つの解があるということなので、解をただ1つにするために、今回は

α > β

$α>β$ という条件を付け加えて求めます。

足して

- 2

$-2$ となるような整数の組は無数にあるので、まずは掛けて

- 35

$-35$ となるような整数の組を考えます。このとき、解

(α, β)

$(α,β)$ の候補として書き出すので、左の整数のほうが大きくなるようにします。

- 35

$-35$ となるような整数の組は

\begin{array}{l} (35, - 1), & (7, - 5), \\ (5, - 7), & (1, - 35) \end{array}

$\begin{array}{l}(35,-1),&(7,-5),\\[0.5em](5,-7),&(1,-35)\end{array}$

の4組があります。
これらの組の中で、和が

- 2

$-2$ となるのは

(5, - 7)

$(5,-7)$ のみです。

したがって、

(α, β) = (5, - 7)

$(α,β)=(5,-7)$ が連立方程式の解であるとわかり、

\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 35 & = (x + 5) {x + (- 7)} \\ ∴ x^{2} - 2 x - 35 & = (x + 5) (x - 7) \end{aligned}

$\begin{align*}x^2-2x-35&=(x+5)\bigl\{x+(-7)\bigr\}\\[0.5em]\large\therefore x^2-2x-35&\large=(x+5)(x-7)\end{align*}$

と因数分解できることがわかります。

このように、整数係数の範囲であれば掛けて $q$ になる数の組が限定されるので、 $α,β$ が求めやすくなっています。

この方法で $α,β$ が求められない、すなわち因数分解できない2次式の場合は次の方法を利用して因数分解します。

　上記の方法で因数分解できなかった場合は、平方完成と因数分解公式

x^{2} - a^{2} = (x + a) (x - a)

$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$

を利用して因数分解します。

まずは2次式 $x^2+px+q$ を平方完成します。平方完成とは、2次式を $(x+a)^2$ と定数項の和に変形することです。

x^{2} + p x

$x^2+px$ の部分に着目すると、

(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2}

$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$ より

a = \frac{p}{2}

$a=\dfrac{p}{2}$ のとき、すなわち

{(x + \frac{p}{2})}^{2}

$\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2$ の展開式

x^{2} + p x + \frac{p^{2}}{4}

$x^2+px+\dfrac{p^2}{4}$ の一部であることがわかるので、

\begin{aligned} x^{2} + p x + q & = (x^{2} + p x) + q \\ = {(x^{2} + p x + \frac{p^{2}}{4}) - \frac{p^{2}}{4}} + q \\ = {{(x + \frac{p}{2})}^{2} - \frac{p^{2}}{4}} + q \\ = {(x + \frac{p}{2})}^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q \\ = {(x + \frac{p}{2})}^{2} - \frac{p^{2} - 4 q}{4} \end{aligned}

$\begin{align*}x^2+px+q&=(x^2+px)+q\\[0.5em]&=\left\{\left(x^2+px+\frac{p^2}{4}\right)-\frac{p^2}{4}\right\}+q\\[0.5em]&=\left\{\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}\right\}+q\\[0.5em]&=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2}{4}+q\\[0.5em]&=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2-4q}{4}\end{align*}$

と変形することができます。

x + \frac{p}{2} = X

$x+\dfrac{p}{2}=X$ とおくと

{(x + \frac{p}{2})}^{2} - \frac{p^{2} - 4 q}{4} = X^{2} - \frac{p^{2} - 4 q}{4}

$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\frac{p^2-4q}{4}=X^2-\frac{p^2-4q}{4}$

となり、

p = 0

$p=0$ のときと似た

X

$X$ の2次式になるので、同様の場合分けをして因数分解公式

x^{2} - a^{2} = (x + a) (x - a)

$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$

を利用して因数分解します。

$\dfrac{p^2-4q}{4}$ が正の数のとき

\frac{p^{2} - 4 q}{4}

$\dfrac{p^2-4q}{4}$ が正の数のとき、これの正の平方根は

\sqrt{\frac{p^{2} - 4 q}{4}} = \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}

$\sqrt{\dfrac{p^2-4q}{4}}=\dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$ なので、

X^{2} - \frac{p^{2} - 4 q}{4} = X^{2} - {(\frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2})}^{2}

$X^2-\frac{p^2-4q}{4}=X^2-\left(\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)^2$

と書くことができます。

すると、先ほどの因数分解公式より

X^{2} - {(\frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2})}^{2} = (X + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) (X - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2})

$X^2-\left(\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)^2=\left(X+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\left(X-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)$

となり、

X

$X$ を戻すと

\begin{aligned} (X + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) (X - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) & = {(x + \frac{p}{2}) + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}} {(x + \frac{p}{2}) - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}} \\ = (x + \frac{p}{2} + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) (x + \frac{p}{2} - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) \\ = (x + \frac{p + \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) (x + \frac{p - \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) \end{aligned}

$\begin{align*}\left(X+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\left(X-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)&=\left\{\left(x+\frac{p}{2}\right)+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right\}\left\{\left(x+\frac{p}{2}\right)-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right\}\\[0.5em]&=\left(x+\frac{p}{2}+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\left(x+\frac{p}{2}-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\\[0.5em]&=\left(x+\frac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\left(x+\frac{p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\end{align*}$

となります。

したがって、

x^{2} + p x + q = (x + \frac{p + \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}) (x + \frac{p - \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2})

$\large x^2+px+q=\left(x+\frac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)\left(x+\frac{p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\right)$

と因数分解できます。

$\dfrac{p^2-4q}{4}$ が負の数のとき

\frac{p^{2} - 4 q}{4}

$\dfrac{p^2-4q}{4}$ が負の数のとき、これの平方根のうち

+

$+$ の符号のものは

\frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i

$\dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i$ なので、

X^{2} - \frac{p^{2} - 4 q}{4} = X^{2} - {(\frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i)}^{2}

$X^2-\frac{p^2-4q}{4}=X^2-\left(\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)^2$

と書くことができます。

すると、先ほどの因数分解公式より

X^{2} - {(\frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i)}^{2} = (X + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i) (X - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i)

$X^2-\left(\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)^2=\left(X+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)\left(X-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)$

となり、

X

$X$ を戻すと

\begin{aligned} (X + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i) (X - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i) & = {(x + \frac{p}{2}) + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i} {(x + \frac{p}{2}) - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i} \\ = (x + \frac{p}{2} + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i) (x + \frac{p}{2} - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} i) \end{aligned}

$\begin{align*}\left(X+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)\left(X-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)&=\left\{\left(x+\frac{p}{2}\right)+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right\}\left\{\left(x+\frac{p}{2}\right)-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right\}\\[0.5em]&=\left(x+\frac{p}{2}+\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)\left(x+\frac{p}{2}-\frac{\sqrt{p^2-4q}}{2}i\right)\end{align*}$

となります。

したがって、