円に内接・外接する正十二角形の周の長さと円周率の関係

　円に内接・外接する正十二角形の周の長さを求めて、円周率との関係を調べてみます。

円に内接する正十二角形

図1　円に内接する正十二角形

　半径1の円に内接する正十二角形を考えます。この円の円周の長さは$2\pi$です。
円の中心を通る正十二角形の対角線を引くと、合同な二等辺三角形が12個できます。
この二等辺三角形の頂角は30°、等辺の長さは円の半径と等しいので1です。

二等辺三角形の底辺の長さを$l_{12i}$とすると、余弦定理より

$$\begin{align*}{l_{12i}}^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cos30^{\circ}\\ &=2-\sqrt{3}\\ l_{12i}&=\sqrt{2-\sqrt{3}}\qquad(l_{12i}>0)\\ &=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}\\ &=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}\\ &=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\\ \\ &=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{align*}$$

となります。正十二角形の周の長さを$L_{12i}$とすると、

$$\begin{align*}L_{12i}&=12l_{12i}\\ &=12\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\\ &=6\sqrt{6}-6\sqrt{2}≒6.21\end{align*}$$

となります。

　円周と円に内接する正十二角形の周の長さの関係は

$$\begin{align*}2\pi:6\sqrt{6}-6\sqrt{2}&=\pi:3\sqrt{6}-3\sqrt{2}\\ &≒\pi:3.11\end{align*}$$

また、円周は円に内接する正十二角形の周の長さより長いので、$\mathbf{\pi>3.11}$であることがわかります。

円に外接する正十二角形

図2　円に外接する正十二角形

　半径1の円に外接する正十二角形を考えます。この円の円周の長さは$2\pi$です。
円の中心を通る正十二角形の対角線を引くと合同な二等辺三角形が12個できます。
この二等辺三角形の頂角は30°、高さは半径に等しく1です。

底辺の長さを$l_{12o}$とし、図2の緑の直角三角形を利用して求めると、

$$\begin{align*}\tan15^{\circ}&=\frac{\frac{l_{12o}}{2}}{1}=\frac{l_{12o}}{2}\\ l_{12o}&=2\tan15^{\circ}\end{align*}$$

ここで、以前の記事より

$$\tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}$$

であるので、

$$\begin{align*}l_{12o}&=2(2-\sqrt{3})\\ &=4-2\sqrt{3}\end{align*}$$

円に外接する正十二角形の周の長さを$L_{12o}$とすると、

$$\begin{align*}L_{12o}&=12l_{12o}\\ &=12(4-2\sqrt{3})\\ &=48-24\sqrt{3}≒6.43\end{align*}$$

となります。

　円周と円に外接する正十二角形の周の長さの関係は

$$\begin{align*}2\pi:48-24\sqrt{3}&=\pi:24-12\sqrt{3}\\ &≒\pi:3.22\end{align*}$$

また、円周は円に外接する正十二角形の周の長さより短いので$\mathbf{\pi<3.22}$であるとわかります。

　以上から、円に内接・外接する正十二角形の周の長さから円周率$\pi$の取りうる値の範囲は$\mathbf{3.11<\pi<3.22}$であることがわかりました。