概要
テレビ番組が元になった確率の問題で以下のようなものです。
「3つの箱（もともとは扉です）があり、その内1つにあたりが入っている。Aさんはこの中から1つ箱を選ぶ。するとBさんはAさんに選択されなかった2つの箱の内1つを選んでこれがハズレであることを教え、残る1つの箱に変更するかを尋ねられる。
Aさんは最初に選んだ箱と残り1つの箱のどちらを選んだほうがあたりを引く確率が高いか？」
Bさんによって選択肢が2つに絞られるのでどちらを選んでもあたりを引く確率は$\frac{1}{2}$であるように思えますが、実は違います。
最初に選んだ箱があたりである確率は$\frac{1}{3}$で、箱の中身を”あたり”、”ハズレ1”、”ハズレ2”とすると、次の3パターンが出てきます。
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| 図1 最初の選択と残りの選択肢 |
Bさんにハズレがどれかを教えられていない状態で選び直すとすると
選ばれていない箱2つ × 3パターンの6通りの中にあたりは2つなので選び直してあたりを引く確率は$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$となります。
Bさんにハズレがどれであるかを教えられると、図2のように各パターンの残りの選択肢から1つずつハズレの箱が除外されます。
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| 図2 ハズレを除外した後の確率 |
すると選び直してあたりを引く確率はあたりが6個中2個から3個中2個に変わるので$\frac{2}{3}$となります。
あたりを引く確率は最初の選択のままなら$\frac{1}{3}$、選び直した場合は$\frac{2}{3}$となるので、選び直したほうが当たりを引きやすいことになります。
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