sin6°、cos6°、tan6°はどんな数？

　$6°\ (＝\dfrac{\pi}{30})$のときの三角関数がどんな式で表されるのかを求めてみました。

$\sin6°$

加法定理で導出

　$\sin$の加法定理より

$$\begin{align*}\sin6°&=\sin(36°-30°)\\[0.5em]&=\sin36°\cos30°-\cos36°\sin30°\end{align*}$$

ここで

$$\begin{align*}\sin30°&=\frac{1}{2}\\[1em]\cos30°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$$

「$\sin36°$がどんな数になるかを求めてみよう」より

$$\begin{align*}\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\end{align*}$$

なので、

$$\begin{align*}\sin6°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{4}\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}-\frac{\sqrt{5}+1}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}}\tag{a}\end{align*}$$

となります。

半角の公式で導出

　しかし、$\sin6°$を求める別の方法として半角の公式より

$$\begin{align*}\sin^2 6°&=\sin^2 \frac{12°}{2}\\[0.5em]&=\frac{1-\cos12°}{2}\end{align*}$$

ここで、「$\sin12°,\cos12°,\tan12°$はどんな数？」より

$$\cos12°=\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}$$

なので、

$$\begin{align*}\sin^2 6°&=\frac{1-\cfrac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}}{2}\\[0.5em]&=\frac{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]\sin6°&=\frac{\sqrt{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}}{4}&(\because\sin6°>0)\tag{b}\end{align*}$$

となりますが、これは加法定理で求めた$\text{(a)}$と同じ数なのでしょうか？

(a)と(b)は同じ？

　$\text{(a)=(b)}$であるならば

$$\begin{align*}\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}&=\frac{\sqrt{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}}{4}\\[0.5em]\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1&=2\sqrt{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-4\sqrt{30-6\sqrt{5}}}\end{align*}$$

これが正しいことを示せれば良いことになります。

左辺が正の実数であることが既知であるとすると

$$\begin{align*}(左辺)&=\sqrt{30-6\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)\\[0.5em]&=\sqrt{\left\{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-2(\sqrt{5}+1)\sqrt{30-6\sqrt{5}}}\end{align*}$$

右辺と左辺は違うように見えますが、ここで比例式

$$\sqrt{30+6\sqrt{5}}:\sqrt{30-6\sqrt{5}}=1:x$$

を解くと

$$\begin{align*}x&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{720}}{30+6\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{12\sqrt{5}}{30+6\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\end{align*}$$

ゆえに

$$\begin{equation}\sqrt{30-6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{30+6\sqrt{5}}\end{equation}$$

となります。

すると左辺は

$$\begin{align*}(左辺)&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-2(\sqrt{5}+1)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}+1}\cdot\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-4\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\end{align*}$$

となり、右辺と一致するため加法定理と半角の公式それぞれの方法で求めた$\sin6°$は同じであることを示すことができました。

$\cos6°$

　$\cos$の加法定理より

$$\begin{align*}\cos6°&=\cos(36°-30°)\\[0.5em]&=\cos36°\cos30°+\sin36°\sin30°\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}$$

$\tan6°$

　三角関数の相互関係

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

より、

$$\begin{align*}\tan6°&=\frac{\sin6°}{\cos6°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}}{\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)}{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{4(\sqrt{5}+1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-16\sqrt{3}}{8+8\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}+1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-4\sqrt{3}}{2+2\sqrt{5}}\end{align*}$$

$(1)$より

$$\begin{align*}\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}&=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]\sqrt{10-2\sqrt{5}}&=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\end{align*}$$

なので

$$\begin{align*}\tan6°&=\frac{(\sqrt{5}+1)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-4\sqrt{3}}{2+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{10+2\sqrt{5}}-4\sqrt{3}}{2+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\ &=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{2}}\end{align*}$$

　それぞれの近似値は以下のようになります。

$$\begin{align*}\sin6°&=0.10453\\[1em]\cos6°&=0.99452\\[1em]\tan6°&=0.10510\end{align*}$$

(2023/12)$\sin6°$の内容を一部修正しました。

関連：$\sin36°$がどんな数になるかを求めてみよう

関連：$\sin12°,\cos12°,\tan12°$はどんな数？

関連：三角関数の加法定理

関連：三角関数 半角の公式

関連：三角関数$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係