6°\ (＝\dfrac{\pi}{30})のときの三角関数がどんな式で表されるのかを求めてみました。
\sin6°
加法定理で導出
\sinの加法定理より
\begin{align*}\sin6°&=\sin(36°-30°)\\[0.5em]&=\sin36°\cos30°-\cos36°\sin30°\end{align*}
ここで
\begin{align*}\sin30°&=\frac{1}{2}\\[1em]\cos30°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}
\begin{align*}\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\end{align*}
なので、
\begin{align*}\sin6°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{4}\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}-\frac{\sqrt{5}+1}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}}\tag{a}\end{align*}
となります。
半角の公式で導出
しかし、\sin6°を求める別の方法として半角の公式より
\begin{align*}\sin^2 6°&=\sin^2
\frac{12°}{2}\\[0.5em]&=\frac{1-\cos12°}{2}\end{align*}
ここで、「\sin12°,\cos12°,\tan12°はどんな数？」より
\cos12°=\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}
なので、
\begin{align*}\sin^2
6°&=\frac{1-\cfrac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}}{2}\\[0.5em]&=\frac{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]\sin6°&=\frac{\sqrt{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}}{4}&(\because\sin6°>0)\tag{b}\end{align*}
となりますが、これは加法定理で求めた\text{(a)}と同じ数なのでしょうか？
(a)と(b)は同じ？
\text{(a)=(b)}であるならば
\begin{align*}\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}&=\frac{\sqrt{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}}{4}\\[0.5em]\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1&=2\sqrt{9-\sqrt{5}-\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-4\sqrt{30-6\sqrt{5}}}\end{align*}
これが正しいことを示せれば良いことになります。
左辺が正の実数であることが既知であるとすると
\begin{align*}(左辺)&=\sqrt{30-6\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)\\[0.5em]&=\sqrt{\left\{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-2(\sqrt{5}+1)\sqrt{30-6\sqrt{5}}}\end{align*}
右辺と左辺は違うように見えますが、ここで比例式
\sqrt{30+6\sqrt{5}}:\sqrt{30-6\sqrt{5}}=1:x
を解くと
\begin{align*}x&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{720}}{30+6\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{12\sqrt{5}}{30+6\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\end{align*}
ゆえに
\begin{equation}\sqrt{30-6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{30+6\sqrt{5}}\end{equation}
となります。
すると左辺は
\begin{align*}(左辺)&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-2(\sqrt{5}+1)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}+1}\cdot\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\sqrt{36-4\sqrt{5}-4\sqrt{30+6\sqrt{5}}}\end{align*}
となり、右辺と一致するため加法定理と半角の公式それぞれの方法で求めた\sin6°は同じであることを示すことができました。
\cos6°
\cosの加法定理より
\begin{align*}\cos6°&=\cos(36°-30°)\\[0.5em]&=\cos36°\cos30°+\sin36°\sin30°\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\cdot\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}
\tan6°
三角関数の相互関係
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
より、
\begin{align*}\tan6°&=\frac{\sin6°}{\cos6°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8}}{\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)}{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{4(\sqrt{5}+1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-16\sqrt{3}}{8+8\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}+1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-4\sqrt{3}}{2+2\sqrt{5}}\end{align*}
(1)より
\begin{align*}\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}&=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]\sqrt{10-2\sqrt{5}}&=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\end{align*}
なので
\begin{align*}\tan6°&=\frac{(\sqrt{5}+1)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}+1}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-4\sqrt{3}}{2+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{10+2\sqrt{5}}-4\sqrt{3}}{2+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{3}}{1+\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)^2}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\
&=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{2}}\end{align*}
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin6°&=0.10453\\[1em]\cos6°&=0.99452\\[1em]\tan6°&=0.10510\end{align*}
(2023/12)\sin6°の内容を一部修正しました。
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