sin12°、cos12°、tan12°はどんな数？ ~ 数学について考えてみる

2021年10月17日

sin12°、cos12°、tan12°はどんな数？

PLUMBAGO

　「 $\sin18°,\cos18°,\tan18°$ はどんな数？」で $18°$ における三角関数を調べたので、これを利用して $12°\ (＝\dfrac{\pi}{15})$ における三角関数を調べてみます。

$\sin12°$

\sin

$\sin$ の加法定理を利用して

\begin{aligned} \sin 12 ° & = \sin (30 ° - 18 °) \\ = \sin 30 ° \cos 18 ° - \cos 30 ° \sin 18 ° \end{aligned}

$\begin{align*}\sin12°&=\sin(30°-18°)\\[0.5em]&=\sin30°\cos18°-\cos30°\sin18°\end{align*}$

ここで

\begin{aligned} (1) & \sin 30 ° & = \frac{1}{2} \\ (2) & \cos 30 ° & = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ (3) & \sin 18 ° & = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \\ (4) & \cos 18 ° & = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} \end{aligned}

$\begin{align}\sin30°&=\frac{1}{2}\\[0.5em]\cos30°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\end{align}$

なので、

\begin{aligned} \sin 12 ° & = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \\ = \underline{\frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin12°&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}}\end{align*}$

$\cos12°$

\cos

$\cos$ の加法定理を利用して

\begin{aligned} \cos 12 ° & = \cos (30 ° - 18 °) \\ = \cos 30 ° \cos 18 ° + \sin 30 ° \sin 18 ° \end{aligned}

$\begin{align*}\cos12°&=\cos(30°-18°)\\[0.5em]&=\cos30°\cos18°+\sin30°\sin18°\end{align*}$

(1), (2), (3), (4)

$(1),(2),(3),(4)$ より

\begin{aligned} \cos 12 ° & = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \\ = \underline{\frac{\sqrt{30 + 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} - 1}{8}} \end{aligned}

$\begin{align*}\cos12°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}}\end{align*}$

$\tan12°$

　三角関数の相互関係

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

より

\begin{aligned} \tan 12 ° & = \frac{\sin 12 °}{\cos 12 °} \\ = \frac{\frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{30 + 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} - 1}{8}} \\ = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{15} + \sqrt{3}}{\sqrt{30 + 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} - 1} \\ = \frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{3} (\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + (\sqrt{5} - 1)} \\ \times \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - (\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - (\sqrt{5} - 1)} \\ = \frac{4 \sqrt{3} - (\sqrt{5} - 1) \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{6 + 2 \sqrt{5}} \\ = \frac{4 \sqrt{3} - (\sqrt{5} - 1) \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}{2 (3 + \sqrt{5})} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \\ = \underline{\frac{(2 - \sqrt{5}) \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{15} + 3 \sqrt{3}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align*}\tan12°&=\frac{\sin12°}{\cos12°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)}\\ &\qquad×\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{6+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2(3+\sqrt{5})}×\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\underline{\frac{(2-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{2}}\end{align*}$

二重根号と括弧の中をまとめることもできます。