「\sin18°,\cos18°,\tan18°はどんな数？」で18°における三角関数を調べたので、これを利用して12°\ (＝\dfrac{\pi}{15})における三角関数を調べてみます。
\sin12°
\sinの加法定理を利用して
\begin{align*}\sin12°&=\sin(30°-18°)\\[0.5em]&=\sin30°\cos18°-\cos30°\sin18°\end{align*}
ここで
\begin{align}\sin30°&=\frac{1}{2}\\[0.5em]\cos30°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\end{align}
なので、
\begin{align*}\sin12°&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}}\end{align*}
\cos12°
\cosの加法定理を利用して
\begin{align*}\cos12°&=\cos(30°-18°)\\[0.5em]&=\cos30°\cos18°+\sin30°\sin18°\end{align*}
(1),(2),(3),(4)より
\begin{align*}\cos12°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}}\end{align*}
\tan12°
三角関数の相互関係
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
より
\begin{align*}\tan12°&=\frac{\sin12°}{\cos12°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)}\\
&\qquad×\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{6+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2(3+\sqrt{5})}×\frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\underline{\frac{(2-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{2}}\end{align*}
二重根号と括弧の中をまとめることもできます。
2-\sqrt{5}<0であることに注意して、
\begin{align*}2-\sqrt{5}&=-(\sqrt{5}-2)\\
&=-\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}\\[0.5em]&=-\sqrt{9-4\sqrt{5}}\end{align*}
と変形できるから
\begin{align*}(2-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}&=-\sqrt{(9-4\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}\\[0.5em]&=-\sqrt{50-22\sqrt{5}}\end{align*}
したがって、
\tan12°=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{50-22\sqrt{5}}}{2}
となります。
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin12°&=0.20791\\[1em]\cos12°&=0.97815\\[1em]\tan12°&=0.21256\end{align*}
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