三角関数$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の間にはどのような関係があるのでしょうか？
直角三角形による定義の場合
\[\sin\theta=\frac{y}{r},\cos\theta=\frac{x}{r},\tan\theta=\frac{y}{x}\]
となります。
ここで、直角三角形$ABC$の3辺の比より
\begin{align*}AB:BC:CA&=r:x:y\\[0.5em]&=\frac{r}{r}:\frac{x}{r}:\frac{y}{r}\\[0.5em]&=1:\cos\theta:\sin\theta\end{align*}
となるので、ここから$\dfrac{CA}{BC}$を求めてみます。
$BC:CA=\cosθ:\sinθ$より
\[CA\cos\theta=BC\sin\theta\]
両辺を$BC\cosθ$で割って
\[\frac{CA}{BC}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
$BC=x,CA=y$なので
\begin{align*}\frac{y}{x}&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\[0.5em]\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{a}\end{align*}
が得られます。
また、三平方の定理より
\[x^2+y^2=r^2\]
が成り立ち、両辺を$r^2$で割ることで
\begin{align*}\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}&=1\\[0.5em]\\[0.5em]\left(\frac{x}{r}\right)^2+\left(\frac{y}{r}\right)^2&=1\\[0.5em]\therefore\sin^2θ+\cos^2θ=1\tag{b}\end{align*}
が得られます。
$\text{(b)}$の両辺を$\cos^2θ$で割ると
\begin{align*}\frac{\sin^2θ}{\cos^2θ}+\frac{\cos^2θ}{\cos^2θ}&=\frac{1}{\cos^2θ}\\[0.5em]\left(\frac{\sinθ}{\cosθ}\right)^2+1&=\frac{1}{\cos^2θ}\\[0.5em]\therefore\tan^2θ+1&=\frac{1}{\cos^2θ}\tag{c}\end{align*}
が得られます。
$\text{(a),(b),(c)}$の3つの式は$\sinθ,\cosθ\,tanθ$の互いの関係性を表した式なので、これらのことを三角関数（三角比）の相互関係と呼びます。
単位円による定義の場合
単位円による定義では、
.png)
x軸の正の部分と反時計回りを正の方向として$θ$の角をなす単位円の半径を引いたとき円周上の端点の座標が$(\cosθ,\sinθ)$、半径を延長した直線の傾きが$\tanθ$となります。
.png)
すると半径が原点と$(\cosθ,\sinθ)$を通ることから傾きを求めると$\tanθ$は
\begin{align*}\tan\theta&=\frac{\sin\theta-0}{\cos\theta-0}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\end{align*}
となり$\text{(a)}$を得ます。
すると三平方の定理より
\[|\sin\theta|^2+|\cos\theta|^2=1\]
が成り立ち、$|a|^2=a^2$より
\begin{align*}(\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2&=1\\[0.5em]\sin^2\theta+\cos^2\theta&=1\end{align*}
となり$\text{(b)}$を得ます。
$\text{(c)}$に関しては直角三角形による定義の場合と同様です。
(2024/2)加筆修正しました。
Share:
