三角関数sinθ、cosθ、tanθの相互関係

　三角関数$\sinθ, \cosθ, \tanθ$の間にはどのような関係があるのでしょうか？

直角三角形による定義の場合

　$∠\text{C}=90°$である直角三角形$\text{ABC}$について$∠\text{B}=θ$、斜辺$\text{AB}$の長さを$r$、$∠\text{B}$の斜辺でない隣接する辺$\text{BC}$の長さを$x$、$∠\text{A}$の対辺$\text{AC}$の長さを$y$とすると三角比は

$$\sin\theta=\frac{y}{r}, \cos\theta=\frac{x}{r}, \tan\theta=\frac{y}{x}$$

となります。

関連：三角関数の読み方　①三角比の読み方

　$\sinθ, \cosθ$の式を変形して

$$\begin{align*}x&=r\cos\theta\tag{a}\\[1em]y&=r\sin\theta\tag{b}\end{align*}$$

となります。

すると、$\tanθ$の式に$\text{(a), (b)}$を代入すると

$$\begin{equation}\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\end{equation}$$

が得られます。

　また、三平方の定理より

$$x^2+y^2=r^2$$

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

が成り立つので、これに$\text{(a), (b)}$を代入すると

$$\begin{align*}(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2&=r^2\\[0.5em]\therefore r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta&=r^2\end{align*}$$

この両辺を$r^2$で割ることで

$$\begin{equation}\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\end{equation}$$

が得られます。

　さらに、$(2)$の両辺を$\cos^2θ$で割ると

$$\begin{align*}\frac{\sin^2θ}{\cos^2θ}+\frac{\cos^2θ}{\cos^2θ}&=\frac{1}{\cos^2θ}\\[0.5em]\left(\frac{\sinθ}{\cosθ}\right)^2+1&=\frac{1}{\cos^2θ}\\[0.5em]\therefore\tan^2θ+1&=\frac{1}{\cos^2θ}\tag3\end{align*}$$

が得られます。

　$(1), (2), (3)$の3つの式は$\sinθ, \cosθ\, tanθ$の互いの関係性を表した式なので、これらのことを三角関数（三角比）の相互関係と呼びます。

単位円による定義の場合

　単位円による定義では、

x軸の正の部分と反時計回りを正の方向として$θ$の角をなす単位円の半径を引いたとき円周上の端点の座標が$(\cosθ, \sinθ)$、半径を延長した直線の傾きが$\tanθ$となります。

関連：三角関数の読み方　②単位円の利用

　すると半径が原点と$(\cosθ, \sinθ)$を通ることから傾きを求めると$\tanθ$は

$$\begin{align*}\tan\theta&=\frac{\sin\theta-0}{\cos\theta-0}\\[0.5em]&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\end{align*}$$

となり$(1)$を得ます。

　単位円の中心である原点$\text{O}$から$(\cosθ, \sinθ)$までの距離は$1$なので

$$\begin{align*}(\cos\theta-0)^2+(\sin\theta-0)^2&=1\\[0.5em]\therefore \sin^2\theta+\cos^2\theta&=1\end{align*}$$

となり$(2)$を得ます。

$\text{(c)}$に関しては直角三角形による定義の場合と同様です。

(2024/5)内容を一部修正しました。

関連：cscθ、secθ、cotθの相互関係