3次方程式の解と係数の関係 ~ 数学について考えてみる

2022年3月15日

3次方程式の解と係数の関係

PLUMBAGO

「

x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1 = 0

$x^3-5x^2+5x-1=0$ の解を

α, β, γ

$\alpha,\beta,\gamma$ としたとき以下の値を求めよ。

(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$

(2) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$ 」

　3次方程式の解と係数の関係は以下のように求められます。

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

$ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解が

α, β, γ

$\alpha,\beta,\gamma$ の3つであるとき

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - α) (x - β) (x - γ)

$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

と表せます。

右辺を展開すると

\begin{matrix} a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a x^{3} - a (α + β + γ) x^{2} + a (α β + β γ + γ α) x - a α β γ \end{matrix}

$\begin{align*}&ax^3+bx^2+cx+d\\ &\quad=ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma\end{align*}$

となるので、

x

$x$ の次数が同じ項を比較すると

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} - a (α + β + γ) & = b a (α β + β γ + γ α) & = c - a α β γ & = d \end{matrix}

$\begin{cases}-a(\alpha+\beta+\gamma)&=b\\[0.5em]a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)&=c\\[0.5em]-a\alpha\beta\gamma&=d\end{cases}$

各式を整理して

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} α + β + γ & = - \frac{b}{a} α β + β γ + γ α & = \frac{c}{a} α β γ & = - \frac{d}{a} \end{matrix}

$\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma&=-\dfrac{b}{a}\\[0.5em]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=\dfrac{c}{a}\\[0.5em]\alpha\beta\gamma&=-\dfrac{d}{a}\end{cases}$

となります。

　したがって、

x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1 = 0

$x^3-5x^2+5x-1=0$ における解と係数の関係は、

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} α + β + γ & = 5 α β + β γ + γ α & = 5 α β γ & = 1 \end{matrix}

$\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma&=5\\[0.5em]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=5\\[0.5em]\alpha\beta\gamma&=1\end{cases}$

となります。

これを利用して問題を解きます。

(1)

因数分解公式

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + b c + c a) = (a + b + c)^{2}

$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$

より

α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α)

$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

であるので

\begin{matrix} α^{2} + β^{2} + γ^{2} & = 5^{2} - 2 \cdot 5 = 15 \end{matrix}

$\begin{align*}\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=5^2-2\cdot5\\[0.5em]&=15\end{align*}$

(2)

因数分解公式

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) \end{matrix}

$\begin{align*}&a^3+b^3+c^3-3abc\\ &\qquad=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}$

より

\begin{matrix} α^{3} + β^{3} + γ^{3} = & (α + β + γ) (α^{2} + β^{2} + γ^{2} - α β - β γ - γ α) + 3 α β γ = & (α + β + γ) {(α + β + γ)^{2} - 3 (α + β + γ)} + 3 α β γ \end{matrix}

$\begin{align*}&\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\[0.5em]=&(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\[0.5em]=&(\alpha+\beta+\gamma)\{(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha+\beta+\gamma)\}+3\alpha\beta\gamma\end{align*}$

であるので