(1)$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$
(2)$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$」
3次方程式の解と係数の関係は以下のように求められます。
$ax^3+bx^2+cx+d=0$の解が$\alpha,\beta,\gamma$の3つであるとき
\[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\]
と表せます。右辺を展開すると
\begin{align*}&ax^3+bx^2+cx+d\\ &\quad=ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma\end{align*}
となるので、$x$の次数が同じ項を比較すると
\begin{cases}-a(\alpha+\beta+\gamma)&=b\\[0.5em]a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)&=c\\[0.5em]-a\alpha\beta\gamma&=d\end{cases}
各式を整理して
\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma&=-\dfrac{b}{a}\\[0.5em]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=\dfrac{c}{a}\\[0.5em]\alpha\beta\gamma&=-\dfrac{d}{a}\end{cases}
となります。 したがって、$x^3-5x^2+5x-1=0$における解と係数の関係は、
\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma&=5\\[0.5em]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=5\\[0.5em]\alpha\beta\gamma&=1\end{cases}
となります。これを利用して問題を解きます。
(1)
因数分解公式
\[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2\]
より
\[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\]
であるので
\begin{align*}\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=5^2-2\cdot5\\[0.5em]&=15\end{align*}
(2)
因数分解公式
\begin{align*}&a^3+b^3+c^3-3abc\\ &\qquad=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}
より
\begin{align*}&\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\[0.5em]=&(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\[0.5em]=&(\alpha+\beta+\gamma)\{(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha+\beta+\gamma)\}+3\alpha\beta\gamma\end{align*}
であるので
\begin{align*}\alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=5(5^2-3\cdot5)+3\cdot1\\[0.5em]&=53\end{align*}
となります。
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