Processing math: 100%
横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2022年3月15日

3次方程式の解と係数の関係

x^3-5x^2+5x-1=0の解を\alpha,\beta,\gammaとしたとき以下の値を求めよ。

(1)\alpha^2+\beta^2+\gamma^2

(2)\alpha^3+\beta^3+\gamma^3


 3次方程式の解と係数の関係は以下のように求められます。
ax^3+bx^2+cx+d=0の解が\alpha,\beta,\gammaの3つであるとき
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
と表せます。
右辺を展開すると
\begin{align*}&ax^3+bx^2+cx+d\\ &\quad=ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma\end{align*}
となるので、xの次数が同じ項を比較すると
\begin{cases}-a(\alpha+\beta+\gamma)&=b\\[0.5em]a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)&=c\\[0.5em]-a\alpha\beta\gamma&=d\end{cases}
各式を整理して
\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma&=-\dfrac{b}{a}\\[0.5em]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=\dfrac{c}{a}\\[0.5em]\alpha\beta\gamma&=-\dfrac{d}{a}\end{cases}
となります。
 したがって、x^3-5x^2+5x-1=0における解と係数の関係は、
\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma&=5\\[0.5em]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=5\\[0.5em]\alpha\beta\gamma&=1\end{cases}
となります。
これを利用して問題を解きます。

(1)

因数分解公式
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2
より
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)
であるので
\begin{align*}\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=5^2-2\cdot5\\[0.5em]&=15\end{align*}

(2)

因数分解公式
\begin{align*}&a^3+b^3+c^3-3abc\\ &\qquad=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}
より
\begin{align*}&\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\[0.5em]=&(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\[0.5em]=&(\alpha+\beta+\gamma)\{(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha+\beta+\gamma)\}+3\alpha\beta\gamma\end{align*}
であるので
\begin{align*}\alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=5(5^2-3\cdot5)+3\cdot1\\[0.5em]&=53\end{align*}
となります。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ