座標空間におけるベクトルの内積

　2つのベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$の内積は
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]
となります。

座標平面上の2ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)$の内積

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\]

と比較するとz座標同士の積の項を付け加えるだけですが、なぜこのような式になるのでしょうか？

　座標平面上のベクトル$\vec{X}=(x,y)$について考えるとx成分のみのベクトル$\vec{X_x}=(x,0)$とy成分のみのベクトル$\vec{X_y}=(0,y)$の2つに分解することができます。

\[\vec{X}=\vec{X_x}+\vec{X_y}\]

となることから$\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)$の内積は

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot(\vec{b_x}+\vec{b_y})\]

と書けます。

ここで、内積の分配法則
\[(\vec{A}+\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\vec{B}\cdot\vec{C}\]
を利用すると
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a_x}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_y}\]
と展開できます。

x軸とy軸は直交しているのでx成分のみのベクトルとy成分のみのベクトルのなす角は90°、x成分のみのベクトル同士、y成分のみのベクトル同士のなす角は0°なので、

\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a_x}||\vec{b_x}|\cos0°+|\vec{a_x}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_y}|\cos0°\\ &=a_1b_1+0+0+a_2b_2\\ &=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}

となり、座標平面におけるベクトルの内積の式を導くことができます。

　座標空間においても同様の方法で2ベクトルを$\vec{a}=\vec{a_x}+\vec{a_y}+\vec{a_z},\vec{b}=\vec{b_x}+\vec{b_y}+\vec{b_z}$に分解して考えると

\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=(\vec{a_x}+\vec{a_y}+\vec{a_z})\cdot(\vec{b_x}+\vec{b_y}+\vec{b_z})\\ &=\vec{a_x}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_z}\\ &\qquad+\vec{a_y}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_z}\\ &\qquad\qquad+\vec{a_z}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_z}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_z}\cdot\vec{b_z}\end{align*}

x軸とy軸、z軸は互いに直交しているので

\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a_x}||\vec{b_x}|\cos0°+|\vec{a_x}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_x}||\vec{b_z}|\cos90°\\ &\qquad+|\vec{a_y}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_y}|\cos0°+|\vec{a_y}||\vec{b_z}|\cos90°\\ &\qquad\qquad+|\vec{a_z}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_z}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_z}||\vec{b_z}|\cos0°\\ \\ &=a_1b_1+0+0+0+a_2b_2+0+0+0+a_3b_3\\ &=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\end{align*}

となり、座標空間におけるベクトルの内積の式を導くことができます。