座標空間におけるベクトルの内積 ~ 数学について考えてみる

2022年3月31日

座標空間におけるベクトルの内積

PLUMBAGO

　2つのベクトル

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}),

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),$

\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ の内積は

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

となります。

座標平面上の2ベクトル

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}),

$\vec{a}=(a_1,a_2),$

\vec{b} = (b_{1}, b_{2})

$\vec{b}=(b_1,b_2)$ の内積

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

と比較するとz座標同士の積の項を付け加えるだけですが、なぜこのような式になるのでしょうか？

　座標平面上のベクトル

\vec{X} = (x, y)

$\vec{X}=(x,y)$ はx成分のみのベクトル

\vec{X_{x}} = (x, 0)

$\vec{X_x}=(x,0)$ とy成分のみのベクトル

\vec{X_{y}} = (0, y)

$\vec{X_y}=(0,y)$ の2つに分解することができます。

すなわち、

\vec{X} = \vec{X_{x}} + \vec{X_{y}}

$\vec{X}=\vec{X_x}+\vec{X_y}$

となることから

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}),

$\vec{a}=(a_1,a_2),$

\vec{b} = (b_{1}, b_{2})

$\vec{b}=(b_1,b_2)$ の内積は

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{a_{x}} + \vec{a_{y}}) \cdot (\vec{b_{x}} + \vec{b_{y}})

$\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot(\vec{b_x}+\vec{b_y})$

と書けます。

ここで、内積の分配法則

(\vec{A} + \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot \vec{C} + \vec{B} \cdot \vec{C}

$(\vec{A}+\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\vec{B}\cdot\vec{C}$

を利用すると

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = \vec{a_{x}} \cdot \vec{b_{x}} + \vec{a_{x}} \cdot \vec{b_{y}} \\ + \vec{a_{y}} \cdot \vec{b_{x}} + \vec{a_{y}} \cdot \vec{b_{y}} \end{aligned}

$\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=\vec{a_x}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_y}\\ &\qquad+\vec{a_y}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_y}\end{align*}$

と展開できます。

x軸とy軸は直交しているのでx成分のみのベクトルとy成分のみのベクトルのなす角は

90 °

$90°$ 、x成分のみのベクトル同士やy成分のみのベクトル同士のなす角は

0 °

$0°$ なので、

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = | \vec{a_{x}} | | \vec{b_{x}} | \cos 0 ° + | \vec{a_{x}} | | \vec{b_{y}} | \cos 90 ° \\ + | \vec{a_{y}} | | \vec{b_{x}} | \cos 90 ° + | \vec{a_{y}} | | \vec{b_{y}} | \cos 0 ° \\ = a_{1} b_{1} + 0 + 0 + a_{2} b_{2} \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} \end{aligned}

$\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a_x}||\vec{b_x}|\cos0°+|\vec{a_x}||\vec{b_y}|\cos90°\\ &\qquad+|\vec{a_y}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_y}|\cos0°\\[0.5em]&=a_1b_1+0+0+a_2b_2\\[0.5em]&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}$

となり、座標平面におけるベクトルの内積の式を導くことができます。

　座標空間においても同様の方法で2ベクトルを

\vec{a} = \vec{a_{x}} + \vec{a_{y}} + \vec{a_{z}},

$\vec{a}=\vec{a_x}+\vec{a_y}+\vec{a_z},$

\vec{b} = \vec{b_{x}} + \vec{b_{y}} + \vec{b_{z}}

$\vec{b}=\vec{b_x}+\vec{b_y}+\vec{b_z}$ に分解して考えると

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = (\vec{a_{x}} + \vec{a_{y}} + \vec{a_{z}}) \cdot (\vec{b_{x}} + \vec{b_{y}} + \vec{b_{z}}) \\ = \vec{a_{x}} \cdot \vec{b_{x}} + \vec{a_{x}} \cdot \vec{b_{y}} + \vec{a_{x}} \cdot \vec{b_{z}} \\ + \vec{a_{y}} \cdot \vec{b_{x}} + \vec{a_{y}} \cdot \vec{b_{y}} + \vec{a_{y}} \cdot \vec{b_{z}} \\ + \vec{a_{z}} \cdot \vec{b_{x}} + \vec{a_{z}} \cdot \vec{b_{y}} + \vec{a_{z}} \cdot \vec{b_{z}} \end{aligned}

$\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=(\vec{a_x}+\vec{a_y}+\vec{a_z})\cdot(\vec{b_x}+\vec{b_y}+\vec{b_z})\\[0.5em]&=\vec{a_x}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_z}\\ &\qquad+\vec{a_y}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_z}\\ &\qquad+\vec{a_z}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_z}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_z}\cdot\vec{b_z}\end{align*}$

x軸とy軸、z軸は互いに直交しているので

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = | \vec{a_{x}} | | \vec{b_{x}} | \cos 0 ° + | \vec{a_{x}} | | \vec{b_{y}} | \cos 90 ° + | \vec{a_{x}} | | \vec{b_{z}} | \cos 90 ° \\ + | \vec{a_{y}} | | \vec{b_{x}} | \cos 90 ° + | \vec{a_{y}} | | \vec{b_{y}} | \cos 0 ° + | \vec{a_{y}} | | \vec{b_{z}} | \cos 90 ° \\ + | \vec{a_{z}} | | \vec{b_{x}} | \cos 90 ° + | \vec{a_{z}} | | \vec{b_{y}} | \cos 90 ° + | \vec{a_{z}} | | \vec{b_{z}} | \cos 0 ° \\ = a_{1} b_{1} + 0 + 0 + 0 + a_{2} b_{2} + 0 + 0 + 0 + a_{3} b_{3} \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} \end{aligned}

$\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a_x}||\vec{b_x}|\cos0°+|\vec{a_x}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_x}||\vec{b_z}|\cos90°\\ &\qquad+|\vec{a_y}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_y}|\cos0°+|\vec{a_y}||\vec{b_z}|\cos90°\\ &\qquad+|\vec{a_z}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_z}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_z}||\vec{b_z}|\cos0°\\[0.5em]&=a_1b_1+0+0+0+a_2b_2+0+0+0+a_3b_3\\[0.5em]&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\end{align*}$

となり、座標空間におけるベクトルの内積の式を導くことができます。