2つのベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),$$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$の内積は
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]
となります。
座標平面上の2ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2),$$\vec{b}=(b_1,b_2)$の内積
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\]
と比較するとz座標同士の積の項を付け加えるだけですが、なぜこのような式になるのでしょうか？
すなわち、
\[\vec{X}=\vec{X_x}+\vec{X_y}\]
となることから$\vec{a}=(a_1,a_2),$$\vec{b}=(b_1,b_2)$の内積は
\[\vec{a}\cdot\vec{b}=(\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot(\vec{b_x}+\vec{b_y})\]
と書けます。
ここで、内積の分配法則
\[(\vec{A}+\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\vec{B}\cdot\vec{C}\]
を利用すると
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=\vec{a_x}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_y}\\
&\qquad+\vec{a_y}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_y}\end{align*}
と展開できます。
x軸とy軸は直交しているのでx成分のみのベクトルとy成分のみのベクトルのなす角は$90°$、x成分のみのベクトル同士やy成分のみのベクトル同士のなす角は$0°$なので、
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a_x}||\vec{b_x}|\cos0°+|\vec{a_x}||\vec{b_y}|\cos90°\\
&\qquad+|\vec{a_y}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_y}|\cos0°\\[0.5em]&=a_1b_1+0+0+a_2b_2\\[0.5em]&=a_1b_1+a_2b_2\end{align*}
となり、座標平面におけるベクトルの内積の式を導くことができます。
座標空間においても同様の方法で2ベクトルを$\vec{a}=\vec{a_x}+\vec{a_y}+\vec{a_z},$$\vec{b}=\vec{b_x}+\vec{b_y}+\vec{b_z}$に分解して考えると
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=(\vec{a_x}+\vec{a_y}+\vec{a_z})\cdot(\vec{b_x}+\vec{b_y}+\vec{b_z})\\[0.5em]&=\vec{a_x}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_x}\cdot\vec{b_z}\\
&\qquad+\vec{a_y}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_y}\cdot\vec{b_z}\\
&\qquad+\vec{a_z}\cdot\vec{b_x}+\vec{a_z}\cdot\vec{b_y}+\vec{a_z}\cdot\vec{b_z}\end{align*}
x軸とy軸、z軸は互いに直交しているので
\begin{align*}\vec{a}\cdot\vec{b}&=|\vec{a_x}||\vec{b_x}|\cos0°+|\vec{a_x}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_x}||\vec{b_z}|\cos90°\\
&\qquad+|\vec{a_y}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_y}||\vec{b_y}|\cos0°+|\vec{a_y}||\vec{b_z}|\cos90°\\
&\qquad+|\vec{a_z}||\vec{b_x}|\cos90°+|\vec{a_z}||\vec{b_y}|\cos90°+|\vec{a_z}||\vec{b_z}|\cos0°\\[0.5em]&=a_1b_1+0+0+0+a_2b_2+0+0+0+a_3b_3\\[0.5em]&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\end{align*}
となり、座標空間におけるベクトルの内積の式を導くことができます。
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