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2022年3月20日

長さの測れないコンパスで長さの等しい線分を作図するには

数学 作図問題 等距離の点
A, B, Cの3つの点がある。コンパスと定規でAD=BCとなるような点Dを作図せよ。ただし、コンパスは針が紙面から離れたとき必ず閉じなければならない。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


BCから離れたところに同じ長さの半径の円を描くことはできない
 コンパスの使用に特に制限がなければ平行四辺形を作ったり、上図のように線分BCの長さをコンパスで測って点Aを中心とする円を描いて円周上の任意の点をDとすれば良いのですが、「コンパスは針が紙面から離れたとき必ず閉じなければならない。」があるためこれらの方法は使えません。
したがって、コンパスを使用する際は長さを測った時点でその場で円を描かなければならないことになります。

 この問題を解く方法には以下の2通りがあります。

その1

1.

ABの垂直二等分線を引く
線分ABの垂直二等分線を作図します。
ABの長さを半径とする円弧を点A, Bそれぞれを中心として描き、2つの交点を結ぶ直線を引きます。

2.

半直線CBを引く
半直線CBを引き、ABの垂直二等分線との交点をPとします。

3.

円弧を描く
CPを半径とする円弧を描きます。

4.

半直線PAを引く
半直線PAを引き、3.の円弧との交点をDとします。
以上でAD=BCとなる点Dを作図することができました。

解説

円の半径と二等辺三角形の利用
 線分BCをある直線に関して対称移動して点ABへ移動したとすると、点DCの移動先となります。このとき対称軸となる直線は線分ABの垂直二等分線となります。また、同時に線分CDの垂直二等分線でもあります。
垂直二等分線の性質より、垂直二等分線上の一点を点PとするとAP=BP, CP=DPが成り立ちます。

また、線分ADと線分BCが線対称な位置関係にあるのならば、これらを延長した直線ADと直線BCも線対称な位置関係にあり、その交点は垂直二等分線上となります。
したがって、点Pを垂直二等分線と直線BCとの交点とすれば、直線AP上のCP=DPを満たし点Cと線対称な位置関係である点が点Dとなります。

また、DP=AP+AD, CP=BP+BCであることを利用すれば、ADの長さは
CP=DPBP+BC=AP+ADAP+BC=AP+AD(AP=BP)BC=AD
となり、問題の条件を満たしていることがわかります。

その2

1.

垂直二等分線の作図

線分ABの垂直二等分線を作図します。

2.

垂直二等分線の作図
線分BCの垂直二等分線を作図し、ABの垂直二等分線との交点をPとします。

3.

3点を通る円弧を描く
APを半径とする円弧を描きます。
これはABCの外接円なので、AP=BP=CPが成り立ちます。

4.

2つの円弧の交点
ABの垂直二等分線上に任意の点Qをとり、これを中心とする点Cを通る円弧を描きます。
3.の円弧との点C以外の交点をDとします。
以上でAD=BCとなる点Dを作図することができました。

解説

 こちらは円の弦の性質を利用しています。
CDが線対称な位置関係にあるのならば、線分CDの垂直二等分線が対称軸となります。
そして、点C, Dが同一円周上にあるならば、線分CDの垂直二等分線上にその円の中心が存在します。
2円の交点は2つの中心を通る直線に関して対称
線分CDは円Pの弦であり円Qの弦でもある

線分CDの垂直二等分線と線分ABの垂直二等分線は同一の直線なので、この直線上の異なる2点P, Qをそれぞれ中心とし、点Cを通る円を描けば点C以外の2円の交点が点Dとなります。

AD=BCを確かに満たしていることは以下のように確かめることができます。
 ABCBADに着目すると
共通の辺なのでAB=BA (1)
円周角の定理よりACB=BDA (2)
C, Dは円Pと円Qの交点なのでCDPQ (3)
直線PQは線分ABの垂直二等分線なのでABPQ (4)
(3),(4)よりAB//CD
平行線の錯角は等しいのでACD=BAC (5)
円周角の定理よりACD=ABD (6)
(5),(6)よりBAC=ABD (7)

(1),(2),(7)より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいのでABCBADは合同であり、このことからBC=ADであることがわかります。


ABの垂直二等分線ではなくACの垂直二等分線を作図した場合、以降同様の手順で別の位置にAD=BCを満たす点Dを作図することができます。

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