このような問題はどのように解けばよいでしょうか?
コンパスの使用に特に制限がなければ平行四辺形を作ったり、上図のように線分の長さをコンパスで測って点を中心とする円を描いて円周上の任意の点をとすれば良いのですが、「コンパスは針が紙面から離れたとき必ず閉じなければならない。」があるためこれらの方法は使えません。
したがって、コンパスを使用する際は長さを測った時点でその場で円を描かなければならないことになります。
この問題を解く方法には以下の2通りがあります。
その1
1.
の長さを半径とする円弧を点それぞれを中心として描き、2つの交点を結ぶ直線を引きます。
2.
3.
4.
以上でとなる点を作図することができました。
解説
垂直二等分線の性質より、垂直二等分線上の一点を点とするとが成り立ちます。
また、線分と線分が線対称な位置関係にあるのならば、これらを延長した直線と直線も線対称な位置関係にあり、その交点は垂直二等分線上となります。
したがって、点を垂直二等分線と直線との交点とすれば、直線上のを満たし点と線対称な位置関係である点が点となります。
また、であることを利用すれば、の長さは
となり、問題の条件を満たしていることがわかります。
その2
1.
2.
3.
これはの外接円なので、が成り立ちます。
4.
3.の円弧との点以外の交点をとします。
以上でとなる点を作図することができました。
解説
こちらは円の弦の性質を利用しています。
点とが線対称な位置関係にあるのならば、線分の垂直二等分線が対称軸となります。
そして、点が同一円周上にあるならば、線分の垂直二等分線上にその円の中心が存在します。
を確かに満たしていることは以下のように確かめることができます。
とに着目すると
共通の辺なので
円周角の定理より
共通の辺なので
円周角の定理より
点は円と円の交点なので
直線は線分の垂直二等分線なので
より
直線は線分の垂直二等分線なので
より
平行線の錯角は等しいので
円周角の定理より
より
円周角の定理より
より
より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいのでとは合同であり、このことからであることがわかります。
の垂直二等分線ではなくの垂直二等分線を作図した場合、以降同様の手順で別の位置にを満たす点を作図することができます。
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