通る点の座標と傾きがわかっている直線の方程式

　点$(p,q)$を通る傾きが$m$の直線$l$の方程式は

$$\large y=m(x-p)+q$$

と表すことができます。

なぜこの式で表すことができるのでしょうか？

　傾きが$m$の原点を通る直線の方程式は$y=mx$となります。

ところで、原点$(0,0)$を点$(p,q)$へ平行移動するには、x軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ移動する必要があります。
この平行移動を原点を通る直線$y=mx$全体に対しおこないます。

原点を通る直線$y=mx$をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動したあとの直線の方程式は

$$y-q=m(x-p)$$

と表され、$q$を移項すると

$$\begin{equation}\large y=m(x-p)+q\end{equation}$$

となります。この直線は原点の平行移動先として対応する点$(p,q)$を通ります。

関連：関数のグラフの平行移動

$(1)$の右辺を展開すると

$$y=mx-mp+q$$

となり、$m$はこの直線の傾きで、定数項$-mp+q$が直線の方程式の一般形$y=ax+b$のy切片$b$にあたります。
傾きが$m$で点$(p,q)$を通るこの直線は直線$l$そのものであり、$(1)$は直線$l$の方程式であることがわかります。
なお、直線$l$が原点も通る場合は$-mp+q=0$となります。

関連：1次関数（グラフの形、傾き、y切片）

関連：通る2点の座標がわかっている直線の方程式