\[\large y=m(x-p)+q\]
となります。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？2通りの方法で導いてみます。
1. 代入して導出
1次関数の一般形に代入して導出してみます。
1次関数とは、
\[y=ax+b\quad(a, b:定数)\]
で表される関数のことなので、まずは点$(p,
q)$を通り、傾きが$m$である1次関数を上式でおきます。
傾きが$m$ということは$a=m$、すなわち
\[y=mx +b\]
ということで、点$(p,
q)$を通るということは、$x=p$のとき$y=q$となる、すなわち
\[q=mp +b\]
となるということです。
この時点では、$b$の値のみがまだ明らかではありません。
そこで、$b$についての1次方程式として解き、$b$の値を求めると
そこで、$b$についての1次方程式として解き、$b$の値を求めると
\begin{align*}q&=mp +b\\[0.5em]b&=-mp +q\end{align*}
となることがわかります。
したがって、$a=m, b=-mp +q$より、点$(p,
q)$を通る傾きが$m$である直線を表す1次関数は
\begin{equation}y=mx -mp +q\end{equation}
であり、右辺を整理すると
\begin{equation}\large y=m(x-p)+q\end{equation}
となることがわかります。
$(1)$において、定数項$-mp +q$はy切片にあたります。
$(1)$が原点を通る場合はy切片は$0$になるので、このとき$-mp +q=0$となります。
$(1)$が原点を通る場合はy切片は$0$になるので、このとき$-mp +q=0$となります。
2. 平行移動で導出
最も基本的な1次関数の形から平行移動を利用することで導出してみます。
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この1次関数のグラフの通る原点が点$(p, q)$へ移動するようにグラフ全体を平行移動すれば、平行移動後は点$(p, q)$を通る傾きが$m$である1次関数のグラフになります。
これは、x軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動することであり、方程式上では$x$を$x-p$に、$y$を$y-q$に置き換えることに対応するので
\[y-q=m(x-p)\]
となります。
これを移項すると
\[\large y=m(x-p)+q\]
となり、$(2)$に一致します。
(2026/5)内容を変更しました。
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