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2024年11月17日

1次関数(グラフの形、傾き、y切片)

 1次関数とは、
y=ax+b\qquad(a,b:実数,a\neq0)
というyが変数xについての次数が1の多項式によって表される関数のことです。
a傾きby切片といいます。a=0のときは基本的に1次関数には含まれません。

特にb=0のときの1次関数はy=axで、これはyxと比例の関係にあることを表します。このときのa比例定数とも呼ばれます。
比例とは、xが2倍、3倍…に変化するにともなってyも2倍、3倍…と同じく変化する関係のことをいいます。
y=axにおいて、
  • x=1のときy=a
  • x=2のときy=2a
  • x=3のときy=3a
xyが比例として説明される関係にあることがわかります。

 1次関数のグラフは直線となります。
y=axのグラフを考えます。
1次関数のグラフは直線
x=0のときy=a\cdot0=0なので、y=axのグラフは(0,0)、すなわち原点Oを通ります。
x=1における点(1, a)をとり、この点をAとします。
x=pp:0以外の任意の実数)における点(p, ap)をとり、この点をPとします。
A,Pそれぞれからx軸へ垂線をおろし、その足をQ,Rとすると、それぞれの座標は(1,0),(p,0)となります。
△OAQ△OPRに着目すると
  • OQ\perp AQ,OR\perp PRより、∠OQA=∠ORP=90°
  • OQ=1,OR=|p|, AQ=|a|, PR=|ap|より、OQ:OR=AQ:PR=1:|p|
2組の辺の長さの比とその間の角がそれぞれ等しいので△OAQ△OPRは相似であることがわかります。
このことから∠AOQ=∠PORです。
ここでpが正であるときを考えると、∠AOQ∠PORは共通の角となり、3点O,A,Pは同一直線上にあります。
また、pが負であるときを考えると、∠AOQ∠PORは対頂角となり、やはり3点O,A,Pは同一直線上にあります。

pをどのようにとっても点Pは2点O,Aを通る直線上に存在するので、1次関数y=axのグラフは原点を通る直線であることがわかります。

y=ax+b(ただし、b\neq0)のグラフは、y=axと同様に考えることもできますが、グラフの平行移動で考えてみます。
y=axをy軸方向にbだけ平行移動したものがy=ax+b
1次関数y=axのグラフをy軸方向にbだけ平行移動したあとの方程式は
y-b=ax
すなわち、yについて解けば
y=ax+b
となります。
平行移動前後でグラフの形は変わらないので、1次関数y=ax+bのグラフもまた直線であることがわかります。
また、1次関数y=axy=ax+b(ただし、b\neq0)のグラフは互いに平行移動した直線という関係なので、aが等しい1次関数のグラフは互いに平行であるといえます。

1次関数の傾きとy切片
 1次関数y=ax+bにおいて、x=0のときy=a\cdot0+b=b、すなわちグラフ上の点(0,b)を表し、これはy=ax+bのグラフとy軸との交点です。
bは1次関数のグラフとy軸との交点のy座標に現れる数であり、y切片と呼ばれます。
同様に1次関数のグラフとx軸との交点のx座標に現れる数であるx切片もあります。

1次関数y=ax+bのグラフの右上がりや右下がりの度合いはaの値によって異なるため、a傾きと呼ばれます。
直線の傾きはx1増加したときのyの変化量によって評価できるので、変化の割合によって求めることができます。
1次関数y=ax+bにおいて、xsからts,t:任意の実数,s<t)まで変化したとき、yas+bからat+bまで変化します。
このときの変化の割合は
\begin{align*}\frac{(at+b)-(as+b)}{t-s}&=\frac{at-as}{t-s}\\[0.5em]&=\frac{a(t-s)}{t-s}\\[0.5em]&=a\end{align*}
となり、傾きaと等しくなります。
y=axのグラフの傾きaの値による違い
1次関数y=ax+bのグラフは、a>0のときは右上がりの直線、a<0のときは右下がりの直線、1次関数ではなくなりますがa=0のときはx軸に平行な直線となります。

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