1次関数とは、
というが変数についての次数がの多項式によって表される関数のことです。
は傾き、はy切片といいます。のときは基本的に1次関数には含まれません。
特にのときの1次関数はで、これはがと比例の関係にあることを表します。このときのは比例定数とも呼ばれます。
比例とは、が2倍、3倍…に変化するにともなっても2倍、3倍…と同じく変化する関係のことをいいます。
において、
- のとき
- のとき
- のとき
1次関数のグラフは直線となります。
のグラフを考えます。
における点をとり、この点をとします。
(以外の任意の実数)における点をとり、この点をとします。
点それぞれからx軸へ垂線をおろし、その足をとすると、それぞれの座標はとなります。
とに着目すると
このことからです。
- より、
- より、
このことからです。
ここでが正であるときを考えると、とは共通の角となり、3点は同一直線上にあります。
また、が負であるときを考えると、とは対頂角となり、やはり3点は同一直線上にあります。
また、が負であるときを考えると、とは対頂角となり、やはり3点は同一直線上にあります。
をどのようにとっても点は2点を通る直線上に存在するので、1次関数のグラフは原点を通る直線であることがわかります。
(ただし、)のグラフは、と同様に考えることもできますが、グラフの平行移動で考えてみます。
また、1次関数と(ただし、)のグラフは互いに平行移動した直線という関係なので、が等しい1次関数のグラフは互いに平行であるといえます。
同様に1次関数のグラフとx軸との交点のx座標に現れる数であるx切片もあります。
1次関数のグラフの右上がりや右下がりの度合いはの値によって異なるため、は傾きと呼ばれます。
直線の傾きはが増加したときのの変化量によって評価できるので、変化の割合によって求めることができます。
1次関数において、がから(任意の実数,)まで変化したとき、はからまで変化します。
このときの変化の割合は
となり、傾きと等しくなります。
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