1次関数とは、
\[\large y=ax+b\quad(a, b:定数; a\neq0)\]
という独立変数（ここでは$x$）についての1次式によって値が決まる関数のことです。
$a$は
傾き、$b$は
y切片といいます。$a=0$のときは定数関数という別の関数で、基本的に1次関数には含まれません。
特に$b=0$のときの1次関数は$y=ax$で、これは$y$が$x$と比例の関係にあることを表します。このときの$a$は比例定数とも呼ばれます。
比例とは、一方の値が2倍、3倍…と変化するのにともなって、もう一方の値も2倍、3倍…と同じく変化する関係のことをいいます。（別の視点としては、$x=0$のとき$y=0$、$x\neq0$のとき$\dfrac{y}{x}$の値が常に一定であるような関係のことです。）
$y=ax$において、
- $x=1$のとき$y=a$
- $x=2$のとき$y=2a$
- $x=3$のとき$y=3a$
となっていて、$x$と$y$が比例として説明される関係にあることがわかります。
1次関数のグラフは直線となります。（これは
後述します。）
1次関数$y=ax+b$のグラフである直線が、右上がりと右下がりのどちらになるか、その度合いがどのくらいになるかは$a$の値によって異なるため、$a$は
傾きと呼ばれます。
$a$の値は$x$が$1$増加したときの$y$の変化量、すなわち変化の割合に等しいです。
1次関数$y=ax +b$において、$x$が$s$から$t$（$s, t:$任意の実数$;
s<t$）まで変化したとき、$y$は$as +b$から$at +b$まで変化します。
このときの変化の割合は
\begin{align*}\frac{(at +b)-(as
+b)}{t-s}&=\frac{at-as}{t-s}\\[0.5em]&=\frac{a(t-s)}{t-s}\\[0.5em]&=a\end{align*}
となり、傾き$a$と等しいことがわかります。
1次関数$y=ax+b$のグラフは、$a>0$のときは右上がりの直線、$a<0$のときは右下がりの直線となります。
ちなみに、$a=0$のときは1次関数ではなく定数関数ですが、x軸に平行な直線となります。
また、傾きの等しい1次関数のグラフは互いに平行となります。（これも後述します。）
$x=0$における1次関数$y=ax+b$の点は、y軸との交点でもあります。
この点のy座標を1次関数のグラフをy軸で切ったときの切り口とみて
y切片といいます。
1次関数$y=ax+b$において$x=0$のとき$y=b$となることから、
$b$がy切片にあたります。
同様に、1次関数のグラフとx軸との交点のx座標のことをx切片といいます。これは、$y=0$のときの$x$の値$-\dfrac{b}{a}$にあたります。
1次関数のグラフは直線か？
1次関数$y=ax$のグラフについて考えます。
$x=0$のとき$y=a\cdot0=0$なので、$y=ax$のグラフは$(0,
0)$、すなわち原点$\text{O}$を通ります。
$x=1$のとき$y=a\cdot1=a$なので、$y=ax$のグラフは$(1,
a)$を通ります。この点を$\text{A}$とします。
$x=p$（ただし、$p\neq0,1$）のとき$y=a\cdot
p=ap$なので、$y=ax$のグラフは$(p, ap)$を通ります。
点$\text{A}$からx軸へ垂線をおろし、その足を$\text{B}$とすると、$∠\text{OBA}=90°$である直角三角形$\text{OAB}$ができます。
次に、直線$\text{OA}$上に原点$\text{O}$と点$\text{A}$以外のx座標が$p$である点$\text{P}$をとります。この仮定より$p\neq0,
1$です。
点$\text{P}$からx軸へ垂線をおろし、その足を$\text{C}$とすると、$∠\text{OCP}=90°$である直角三角形$\text{OPC}$ができます。
直角三角形$\text{OAB}$と$\text{OPC}$に着目すると
-
x軸に対する垂線より$\text{AB}//\text{PC}$で、3点$\text{O}, \text{A},
\text{P}$は同一直線上にあるので、
同位角（または錯角）より$∠\text{OAB}=∠\text{OPC}$
- 直角より$∠\text{OBA}=∠\text{OCP}=90°$
2組の角がそれぞれ等しいので、相似であることがわかります。
$\text{OC}=|p|$であり$\text{OB}:\text{OC}=1:|p|$なので、相似比より$\text{AB}:\text{PC}=1:|p|$です。
$\text{AB}=|a|$より、
\begin{align*}|a|: \text{PC}&=1:|p|\\[0.5em]\text{PC}&=|a|\cdot
|p|\\[0.5em]&=|ap|\end{align*}
となります。
辺$\text{PC}$の長さは点$\text{P}$のy座標の絶対値であり、直線$\text{OA}$上の点のx座標とy座標の符号の関係に注意すれば点$\text{P}$の座標は$(p,
ap)$であることがわかります。
したがって、直線$\text{OA}$上の点$\text{P}$は$y=ax$のグラフ上の点、点$\text{O},
\text{A}$もまた$y=ax$のグラフ上の点なので、$y=ax$のグラフは原点を通る直線であることがわかります。
同様にして、1次関数$y=ax+b$のグラフが直線であることもわかりますが、平行移動で考えることもできます。
1次関数$y=ax$のグラフをy軸方向に$b$だけ平行移動すると、方程式上では$y$を$y-b$に置き換えることに対応するので、平行移動後は
\[y-b=ax\]
となります。
これを移項すると
\[y=ax+b\]
となります。
平行移動によってグラフの形が変わることはないので、1次関数$y=ax+b$のグラフもまた直線であることがわかります。
傾きの等しい1次関数のグラフは互いに平行か？
上述のグラフの平行移動によって、傾きの等しい1次関数のグラフは互いに平行であることがわかりますが、図形的な別の方法によって示してみます。
1次関数$y=ax+b$と$y=ax +c$（ただし、$b\neq c$）について考えます。
それぞれの$x=0$における点を$\text{A},
\text{B}$、$x=1$における点を$\text{C}, \text{D}$として座標を求めると
\begin{align*}\text{A}:&\\
y&=a\cdot0+b\\[0.5em]&=b\\[0.5em]&\therefore(0,
b)\\[1em]\text{B}:&\\
y&=a\cdot0+c\\[0.5em]&=c\\[0.5em]&\therefore(0,
c)\\[1em]\text{C}:&\\
y&=a\cdot1+b\\[0.5em]&=a+b\\[0.5em]&\therefore(1,
a+b)\\[1em]\text{D}:&\\
y&=a\cdot1+c\\[0.5em]&=a+c\\[0.5em]&\therefore(1,
a+c)\end{align*}
となります。
線分$\text{AB}$の長さは$|b-c|$となり、線分$\text{CD}$の長さも
\begin{align*}\text{CD}&=|(a+b)-(a+c)|\\[0.5em]&=|b-c|\end{align*}
と線分$\text{AB}$の長さに等しいことがわかります。
また、直線$\text{AB}$すなわち直線$x=0$と、直線$\text{CD}$すなわち直線$x=1$は互いに平行なので、線分$\text{AB}$と$\text{CD}$もまた平行です。
四角形$\text{ABCD}$に着目すると、$\text{AB}=\text{CD}$かつ$\text{AB}//\text{CD}$、すなわち1組の辺が平行かつ長さが等しいので平行四辺形であることがわかります。
したがって、直線$\text{AC}$すなわち$y=ax+b$のグラフと、直線$\text{BD}$すなわち$y=ax
+c$のグラフもまた平行であることがわかります。
(2026/5)内容を変更しました。
傾きについての画像に誤りがあったので修正しました。申し訳ありませんでした。
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