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2024年11月18日

通る2点の座標がわかっている直線の方程式

2点を通る直線の方程式
 2点(p_1,p_2),(q_1,q_2)を通る直線lの方程式は
\large y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2
と表すことができます。

なぜこの式で表すことができるのでしょうか?


 2点(p_1,p_2),(q_1,q_2)を通る直線lの傾きmは、2点間の変化の割合に等しいので
m=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}
と求められます。
すると、直線lと平行な原点を通る直線の方程式は
y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x
と書けます。
ところで、原点(0,0)を点(p_1,p_2)へ平行移動するには、x軸方向にp_1、y軸方向にp_2だけ移動する必要があります。
この平行移動を直線y=\dfrac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x全体に対しおこないます。
直線y=(q_2-p_2)/(q_1-p_1)*xをx軸方向にp_1、y軸方向にp_2だけ平行移動する
原点を通る直線y=\dfrac{q_2-p_2}{q_1-p_1}xをx軸方向にp_1、y軸方向にp_2だけ平行移動した後の直線の方程式は
y-p_2=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)
と表されます。この直線は直線y=\dfrac{q_2-p_2}{q_1-p_1}xと平行であり原点の平行移動先として対応する点(p_1,p_2)を通ります。
p_2を移項すると
\begin{equation}\large y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2\end{equation}
となります。
(1)x=q_1を代入すると
\begin{align*}y&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(q_1-p_1)+p_2\\[0.5em]&=(q_2-p_2)+p_2\\[0.5em]&=q_2\end{align*}
となり、この直線は点(q_1,q_2)を通ることがわかります。
2点(p_1,p_2),(q_1,q_2)を通るこの直線は直線lそのものであり、(1)が直線lの方程式であることがわかります。
また、(1)を展開すると
\begin{align*}y&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x-\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}p_1+p_2\\[0.5em]&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x-\frac{p_1q_2-p_1p_2}{q_1-p_1}+\frac{p_2q_1-p_1p_2}{q_1-p_1}\\[0.5em]&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x+\frac{p_2q_1-p_1q_2}{q_1-p_1}\end{align*}
となり、定数項\dfrac{p_2q_1-p_1q_2}{q_1-p_1}は一般形y=ax+bのy切片bにあたります。
なお、直線lが原点も通る場合は\dfrac{p_2q_1-p_1q_2}{q_1-p_1}=0となります。

 原点を点(q_1,q_2)へ平行移動するのに必要な移動量 x軸方向にq_1、y軸方向にq_2で直線y=\dfrac{q_2-p_2}{q_1-p_1}xを平行移動したときの方程式
\begin{equation}y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-q_1)+q_2\end{equation}
も直線lとなります。
(2)を展開すると
\begin{align*}y&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x-\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}q_1+q_2\\[0.5em]&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x-\frac{q_1q_2-p_2q_1}{q_1-p_1}+\frac{q_1q_2-p_1q_2}{q_1-p_1}\\[0.5em]&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}x+\frac{p_2q_1-p_1q_2}{q_1-p_1}\end{align*}
となり、(1)を展開した式と同じものが得られます。
また、分数は分母と分子に同じ数を掛けても値が変化しない性質があるので、直線lの傾き\dfrac{q_2-p_2}{q_1-p_1}を分母と分子に-1を掛けた\frac{p_2-q_2}{p_1-q_1}に置き換えても変わらず直線lを表します。
したがって、2点(p_1,p_2),(q_1,q_2)を通る直線lの方程式の表し方には
\begin{align*}y&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2\\[0.5em]y&=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-q_1)+q_2\\[0.5em]y&=\frac{p_2-q_2}{p_1-q_1}(x-p_1)+p_2\\[0.5em]y&=\frac{p_2-q_2}{p_1-q_1}(x-q_1)+q_2\end{align*}
の4通りがあります。(が、2点を通る直線の方程式の公式として覚えるのは1つだけで十分です。)

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