関数のグラフの平行移動

　関数$y=f(x)$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動したグラフの方程式は

\[\large y-q=f(x-p)\]

あるいは

\[\large y=f(x-p)+q\]

と表すことができます。（x軸・y軸方向とは、その座標軸の正の方向のことです。）

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

x軸方向に$p$だけ平行移動

　まず、新しい座標を定義します。

点の平行移動

点$(a, b)$をx軸方向に$p$だけ平行移動した点は$(a+p, b)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=x -p\\[0.5em]Y=y\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

関連：座標平面上の点の平行移動・対称移動

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においてはx軸方向に$p$だけ平行移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(1)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフをx軸方向へ$p$だけ平行移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(1)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(1)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフをx軸方向へ$p$だけ平行移動したグラフの方程式は

\[\large y=f(x-p)\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフをx軸方向へ$p$だけ平行移動することは、方程式上では$x$を$x-p$に置き換える操作となります。

なお、$p=0$のときは平行移動しないことを表し、$p<0$のときはx軸の負の方向へ$|p|$だけ平行移動することを表します。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の平行移動先が$y=f(x-p)$であることを確かめてみます。
関数$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これをx軸方向に$p$だけ平行移動した先は点$\bigl(k +p, f(k)\bigr)$です。

対して、関数$y=f(x-p)$の$x=k+p$における点の座標を調べてみると$\big(k +p, f(k)\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の平行移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフをx軸方向に$p$だけ平行移動したものは確かに$y=f(x-p)$と表せることがわかります。

y軸方向に$q$だけ平行移動

　点の平行移動

点$(a, b)$をy軸方向に$q$だけ平行移動した点は$(a, b +q)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=x\\[0.5em]Y=y-q\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においてはy軸方向に$q$だけ平行移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(2)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフをy軸方向へ$q$だけ平行移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(2)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(2)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフをy軸方向へ$q$だけ平行移動したグラフの方程式は

\[\large y-q=f(x)\]

あるいは、$q$を移項した

\[\large y=f(x)+q\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフをy軸方向へ$q$だけ平行移動することは、方程式上では$y$を$y-q$に置き換える操作となります。

なお、$q=0$のときは平行移動しないことを表し、$q<0$のときはy軸の負の方向へ$|q|$だけ平行移動することを表します。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の平行移動先が$y=f(x)+q$であることを確かめてみます。
関数$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これをy軸方向に$q$だけ平行移動した先は点$\bigl(k, f(k)+q\bigr)$です。

対して、関数$y=f(x)+q$の$x=k$における点の座標を調べてみると$\big(k, f(k)+q\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の平行移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフをy軸方向に$q$だけ平行移動したものは確かに$y=f(x)+q$と表せることがわかります。

x軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動

　点の平行移動

点$(a, b)$をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動した点は$(a +p, b +q)$

をもとに、通常の$xy$座標に対し

\begin{equation}\begin{cases}X=x -p\\[0.5em]Y=y -q\end{cases}\end{equation}

によって新しく$XY$座標を定めます。

この定義により、同じ実数の組によって表される座標は、
$xy$座標においては元の位置を表し、
$XY$座標においてはx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動した位置を表します。

また、$xy$平面上にX軸とY軸を表すと上図のようになります。

　新しい$XY$座標をもちいて描いた関数$Y=f(X)$のグラフは、$(3)$の$xy$座標と$XY$座標の関係より、元の$xy$座標における$y=f(x)$のグラフをx軸方向へ$p$、y軸方向へ$q$だけ平行移動した位置にあります。

ここで、グラフの方程式$Y=f(X)$は$xy$座標においてはどのように表されるのかを見てみましょう。
$xy$座標と$XY$座標には$(3)$の関係があるので、$Y=f(X)$に$(3)$を代入すれば$xy$座標におけるグラフの方程式が得られます。

したがって、$y=f(x)$のグラフをx軸方向へ$p$、y軸方向へ$q$だけ平行移動したグラフの方程式は

\[\large y-q=f(x-p)\]

あるいは、$q$を移項した

\[\large y=f(x-p)+q\]

と表されることがわかります。
$y=f(x)$のグラフをx軸方向へ$p$、y軸方向へ$q$だけ平行移動することは、方程式上では$x$を$x-p$に、$y$を$y-q$に置き換える操作となります。

　関数$y=f(x)$のグラフの各点の平行移動先が$y=f(x-p)+q$であることを確かめてみます。
関数$y=f(x)$の定義域内の$x=k$における点の座標は$\bigl(k, f(k)\bigr)$で、これをx軸方向に$p$、y軸方向へ$q$だけ平行移動した先は点$\bigl(k +p, f(k)+q\bigr)$です。

対して、関数$y=f(x-p)+q$の$x=k+p$における点の座標を調べてみると$\big(k +p, f(k)+q\bigr)$となります。これは$y=f(x)$の$x=k$における点の平行移動先と一致します。

したがって、$y=f(x)$のグラフをx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動したものは確かに$y=f(x-p)+q$と表せることがわかります。

　関数$y=f(x)$のグラフに限らず平面図形でもx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動することは、方程式・不等式上では$x$を$x-p$に、$y$を$y-q$に置き換える操作であることが同様に考えることで導けます。

また、空間図形でもx軸方向に$p$、y軸方向に$q$、z軸方向に$r$だけ平行移動することは、方程式・不等式上では$x$を$x-p$に、$y$を$y-q$に、$z$を$z-r$に置き換える操作であることが同様に考えることで導けます。

(2026/2)内容を変更しました。

関連：点の平行移動・対称移動

関連：関数のグラフの対称移動

関連：関数のグラフを伸び縮みさせる

関連：関数のグラフの回転移動