4点A,B,C,Dについて∠ACB=∠ADB=90°が成り立つとき必ず円周角の定理の逆は使えるか？

　4点$A,B,C,D$について$∠ACB=∠ADB=90°$が成り立つとき、これら4点は常に同一円周上にあるといえます。
このとき、4点が同一円周上にあるといえる根拠は円周角の定理の逆だけでしょうか？

　結論からいうと円周角の定理の逆だけが常に4点が同一円周上にあるといえる根拠ではありません。

なぜなら、円周角の定理の逆とは

直線$AB$に関して2点$C,D$が同じ側にある4点$A,B,C,D$について$∠ACB=∠ADB$が成り立つときこれら4点は同一円周上にある

という定理だからです。

円周角の定理の逆には「直線$AB$に関して2点$C,D$が同じ側にある」という4点に関する位置条件があるため、上図のような4点の場合のみ根拠にすることができます。

関連：円周角の定理の逆 なぜ成り立つ？

では、上図のような「直線$AB$に関して2点$C,D$が互いに反対側にある」ときは何が根拠となるのかというと、円に内接する四角形の対角の性質の逆またはタレスの定理の逆となります。

　円に内接する四角形の対角の性質の逆とは

四角形の対角の和が$180°$のとき、頂点の4点は同一円周上にある

というものです。

これを利用すると上図の$∠ACB,∠ADB$は四角形$ACBD$の対角で、どちらも直角であるので$∠ACB+∠ADB=180°$となり、4点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。

関連：円に内接する四角形の対角の性質は成り立つ？

　タレスの定理の逆とは

$∠ACB$が直角である直角三角形$ABC$の外接円は斜辺$AB$を直径とする

という定理です。

これを利用すると以下のように4点が同一円周上にあることを示すことができます。

　$∠ACB=∠ADB=90°$より$△ABC$は$∠ACB$が直角である直角三角形、$△ABD$は$∠ADB$が直角である直角三角形であることがわかります。

$△ABC$に着目するとタレスの定理の逆より、この三角形の外接円は斜辺$AB$を直径とします。
$△ABD$に着目するとタレスの定理の逆より、この三角形の外接円は斜辺$AB$を直径とします。

線分$AB$を直径とする円はただ1つなので、$△ABC$の外接円と$△ABD$の外接円は同一の円であることがわかります。

ゆえに、4点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。

関連：タレスの定理とその逆

このように「4点$A,B,C,D$について$∠ACB=∠ADB=90°$が成り立つ」とき、円周角の定理の逆を利用して4点が同一円周上にあることを示すことができない場合が存在します。

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