4点についてが成り立つとき、これら4点は常に同一円周上にあるといえます。
このとき、4点が同一円周上にあるといえる根拠は円周角の定理の逆だけでしょうか?
このとき、4点が同一円周上にあるといえる根拠は円周角の定理の逆だけでしょうか?
結論からいうと円周角の定理の逆だけが常に4点が同一円周上にあるといえる根拠ではありません。
なぜなら、円周角の定理の逆とは
直線に関して2点が同じ側にある4点についてが成り立つときこれら4点は同一円周上にある
という定理だからです。
円に内接する四角形の対角の性質の逆とは
四角形の対角の和がのとき、頂点の4点は同一円周上にある
というものです。
これを利用すると上図のは四角形の対角で、どちらも直角であるのでとなり、4点は同一円周上にあることがわかります。
タレスの定理の逆とは
が直角である直角三角形の外接円は斜辺を直径とする
という定理です。
これを利用すると以下のように4点が同一円周上にあることを示すことができます。
に着目するとタレスの定理の逆より、この三角形の外接円は斜辺を直径とします。
に着目するとタレスの定理の逆より、この三角形の外接円は斜辺を直径とします。
線分を直径とする円はただ1つなので、の外接円との外接円は同一の円であることがわかります。
ゆえに、4点は同一円周上にあることがわかります。
このように「4点についてが成り立つ」とき、円周角の定理の逆を利用して4点が同一円周上にあることを示すことができない場合が存在します。
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