同一円周上に4点がある場合とは？ ~ 数学について考えてみる

2022年1月6日

PLUMBAGO

　4つの点にどういった関係が見られるとき同一円周上にあるということができるでしょうか？

円周角の定理の逆

　上図のように直線

$\text{AB}$ に関して同じ側にある角

$∠\text{ACB}$ と

$∠\text{ADB}$ の大きさが等しいとき、円周角の定理の逆により4点

$\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にあることがわかります。
ただし、上図のバツ印をつけた角のように直線

$\text{AB}$ に関して反対側にある角は同一円周上にありません。

　四角形

$\text{ABCD}$ の対角の和が

$180°$ であるとき、円に内接する四角形の対角の性質の逆により四角形の頂点

$\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にあることがわかります。

　上図のように2線分

$\text{AB, CD}$ またはそれらの延長が点

$\text{P}$ で交わり、

$\text{PA}\cdot\text{PB}=\text{PC}\cdot\text{PD}$

という関係が成り立つとき、方べきの定理の逆により

$\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にあることがわかります。

　すでに相似であるとわかっている1組の三角形を例として、4点が同一円周上にある場合とはどんなものかを見てみます。

　上図の相似な三角形

$△\text{EAB}$ と

$△\text{ECD}$ のように

を満たす場合、4点

$\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にあることがわかります。

その根拠となるものは以下のようなものが考えられます。

等しい角の組 $∠\text{BAC}=∠\text{BDC}$ または $∠\text{ABD}=∠\text{ACD}$ に着目した場合、円周角の定理の逆が根拠となります。
相似比 $\text{AE}:\text{DE}=\text{BE}:\text{CE}$ 、すなわち $\text{AE}\cdot\text{CE}=\text{BE}\cdot \text{DE}$ に着目した場合、方べきの定理の逆が根拠となります。

　上図の相似な三角形

$△\text{ABE}$ と

$△\text{CDE}$ のように

を満たす場合、4点

$\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にあることがわかります。

その根拠となるものは以下のようなものが考えられます。

相似比 $\text{AE}:\text{DE}=\text{BE}:\text{CE}$ 、すなわち $\text{AE}\cdot\text{CE}=\text{BE}\cdot \text{DE}$ に着目した場合、方べきの定理の逆が根拠となります。
$\begin{align*}∠\text{ABE}=∠\text{CDE, }∠\text{ABE}+∠\text{ABC}=180°\\[0.5em]\therefore∠\text{ABC}+∠\text{CDE}=180°\end{align*}$
に着目した場合、四角形 $\text{ABCD}$ における円に内接する四角形の対角の性質の逆が根拠となります。