4つの点にどういった関係が見られるとき同一円周上にあるということができるでしょうか？
円周角の定理の逆
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ただし、上図のバツ印をつけた角のように直線$AB$に関して反対側にある角は同一円周上にありません。
四角形の対角の和
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方べきの定理の逆
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\[PA\cdot PB=PC\cdot PD\]
という関係が成り立つとき、方べきの定理の逆により$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。
4点が同一円周上にある例：
すでに相似であるとわかっている1組の三角形を例として、4点が同一円周上にある場合とはどんなものかを見てみます。
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- 2つの三角形がただ1つの共通の頂点でのみ接していること。
- 上記の点を交点とする2線分によって2つの三角形の2組の辺ができていること。
- 上記の点と2つの三角形の内部を通る直線に関して等しい角が同じ側にあること。
その根拠となるものは以下のようなものが考えられます。
- 等しい角の組$∠BAC=∠BDC$または$∠ABD=∠ACD$に着目した場合、円周角の定理の逆が根拠となります。
- 相似比$AE:DE=BE:CE$、すなわち$AE\cdot CE=BE\cdot DE$に着目した場合、方べきの定理の逆が根拠となります。
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- 1つの角が共通であること。
- 上記の角の頂点を交点とする2線分によって2つの三角形の2組の辺ができていること。
- 上記の角の頂点と2つの三角形の内部を通る直線に関して等しい角が互いに反対側にあること。
その根拠となるものは以下のようなものが考えられます。
- 相似比$AE:DE=BE:CE$、すなわち$AE\cdot CE=BE\cdot DE$に着目した場合、方べきの定理の逆が根拠となります。
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\begin{align*}∠ABE=∠CDE,∠ABE+∠ABC=180°\\ \Longleftrightarrow∠ABC+∠CDE=180°\end{align*}に着目した場合、四角形$ABCD$における円に内接する四角形の対角の性質の逆が根拠となります。
同一円周上にあるかを知りたい点の数が2個の場合は、2点を結んだ線分を弦とする円を考えるとこれに当てはまる円は無数にあるため、同一円周上にあると確実に言えます。
3個の場合は、これらを頂点とする三角形の外接円の中心（外心）はただ1つであるから、この場合も同一円周上にあると言えます。
5個以上の場合は、まずその中の4点を選び同一円周上にあることを確かめ、その内1点を確かめていない点と入れ替えて同様に同一円周上にあるかを確かめることで調べることができます。
円周角の定理の逆を利用する場合であれば確かめるのは容易で、最初に2点を選んでこれらを円弧の両端とみなし、他の点を頂点とする角のうち等しいものが同一円周上にあるとわかります。
（2023/9）内容を修正しました。
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