同一円周上に4点がある場合とは？ ~ 数学について考えてみる

2022年1月6日

PLUMBAGO

　4つの点にどういった関係が見られるとき同一円周上にあるということができるでしょうか？

円周角の定理の逆

　上図のように直線$AB$に関して同じ側にある角$∠ACB$と$∠ADB$の大きさが等しいとき、円周角の定理の逆により4点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。
ただし、上図のバツ印をつけた角のように直線$AB$に関して反対側にある角は同一円周上にありません。

　四角形$ABCD$の対角の和が$180°$であるとき、円に内接する四角形の対角の性質の逆により四角形の頂点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。

　上図のように2線分$AB,CD$またはそれらの延長が点$P$で交わり、

\[PA\cdot PB=PC\cdot PD\]

という関係が成り立つとき、方べきの定理の逆により$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。

　すでに相似であるとわかっている1組の三角形を例として、4点が同一円周上にある場合とはどんなものかを見てみます。

　上図の相似な三角形$△EAB$と$△ECD$のように

を満たす場合、4点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。

その根拠となるものは以下のようなものが考えられます。

　上図の相似な三角形$△ABE$と$△CDE$のように

を満たす場合、4点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。

その根拠となるものは以下のようなものが考えられます。

相似比$AE:DE=BE:CE$、すなわち$AE\cdot CE=BE\cdot DE$に着目した場合、方べきの定理の逆が根拠となります。
\begin{align*}∠ABE=∠CDE,∠ABE+∠ABC=180°\\ \therefore∠ABC+∠CDE=180°\end{align*}
に着目した場合、四角形$ABCD$における円に内接する四角形の対角の性質の逆が根拠となります。

　同一円周上にあるかを知りたい点の数が2個の場合は、2点を結んだ線分を弦とする円を考えるとこれに当てはまる円は無数にあるため、同一円周上にあると確実に言えます。
3個の場合は、これらを頂点とする三角形の外接円の中心（外心）はただ1つであるから、この場合も同一円周上にあると言えます。

5個以上の場合は、まずその中の4点を選び同一円周上にあることを確かめ、その内1点を確かめていない点と入れ替えて同様に同一円周上にあるかを確かめることで調べることができます。

円周角の定理の逆を利用する場合であれば確かめるのは容易で、最初に2点を選んでこれらを円弧の両端とみなし、他の点を頂点とする角のうち等しいものが同一円周上にあるとわかります。

(2023/9)内容を修正しました。