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2022年1月2日

循環小数と無限等比級数

 循環小数を等比数列の和で表すとどのようになるでしょうか?


 例として、
0.1˙3˙=0.1313131313
という循環小数を等比数列の和で表してみます。
循環小数は、
0.1˙3˙=0.13+0.0013+0.000013+
より見やすく書くなら
0.1˙3˙=0.13+0.0013+0.000013+0.00000013+0.0000000013+
のように分解できます。
各項を分数で表すと、
0.1˙3˙=13100+1310000+131000000+
さらに、分母を10の累乗で表すと
0.1˙3˙=13102+13104+13106+
さらにさらに変形すれば
0.1˙3˙=13102+110213102+(1102)213102+
となり、各項は初項13102、公比1102の等比数列で、循環小数はその和であることがわかります。
 この等比数列の一般項は
an=13102(1102)n
であるため、初項からn番目の項までの和は、等比数列の和の公式
k=1n=a(1rn)1r(a:,r:)
より
13102{1(1102)n}11102
となります。
 しかしこれは第n項で作れる桁(小数点2n位)までのもので、本来循環小数は無限小数でもあるので小数点以下の桁は無限に続きます。
なので、極限を使ってより正確な等比数列の和(無限等比級数)を導きます。
limn13102{1(1102)n}11102
nがついているのは(1102)nだけです。これは1未満のべき乗なのでnを大きくすれば限りなく0に近づきます。したがって、
limn13102{1(1102)n}11102=1310211102
に収束します。
あとは分母と分子に102を掛けると、
1310211102×102102=131021=131001=1399_
となります。これが循環小数0.1˙3˙を分数で表したものになります。

 逆に分数を循環小数にするにはそのまま13÷99を計算しても良いですが、
1399=131001=131021×11021102=1310211102
と変形した後、平方根を含む分数の有理化のように分母と分子に1+1102を掛けると
13102(1+1102)(11102)(1+1102)=13102(1+1102)11104
分母が11104になったので、次は分母と分子に1+1104を掛けて
13102(1+1102)(1+1104)(11104)(1+1104)=13102(1+1102)(1+1104)11108
次は分母と分子に1+1108を掛けて
13102(1+1102)(1+1104)(1+1108)111016
この計算を続けていくと分母は1に近づいていくので
131021110213102(1+1102)(1+1104)(1+1108)(1+11016)
となります。
これを展開すると
13102(1+1102+1104+1106+1108+11010+)=13102+13104+13106+13108+131010+=0.13+0.0013+0.000013+0.00000013+0.0000000013+=0.1313131313=0.1˙3˙
となり、循環小数にすることができます。

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