循環小数を等比数列の和で表すとどのようになるでしょうか？
例として、
0.\dot{1}\dot{3}=0.1313131313\cdots
という循環小数を等比数列の和で表してみます。
循環小数は、
0.\dot{1}\dot{3}=0.13+0.0013+0.000013+\cdots
より見やすく書くなら
\begin{align*}0.\dot{1}\dot{3}=&\hspace{1.25em}0.13\\ &+0.0013\\ &+0.000013\\
&+0.00000013\\ &+0.0000000013\\ &+\qquad\vdots\end{align*}
のように分解できます。
各項を分数で表すと、
0.\dot{1}\dot{3}=\frac{13}{100}+\frac{13}{10000}+\frac{13}{1000000}+\cdots
さらに、分母を10の累乗で表すと
0.\dot{1}\dot{3}=\frac{13}{10^2}+\frac{13}{10^4}+\frac{13}{10^6}+\cdots
さらにさらに変形すれば
0.\dot{1}\dot{3}=\frac{13}{10^2}+\frac{1}{10^2}\cdot\frac{13}{10^2}+\left(\frac{1}{10^2}\right)^2\cdot\frac{13}{10^2}+\cdots
となり、各項は初項\dfrac{13}{10^2}、公比\dfrac{1}{10^2}の等比数列で、循環小数はその和であることがわかります。
この等比数列の一般項は
a_n=\frac{13}{10^2}\left(\frac{1}{10^2}\right)^n
であるため、初項からn番目の項までの和は、等比数列の和の公式
\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}&=\frac{a(1-r^n)}{1-r}&(a:初項,r:公比)\end{align*}
より
\frac{\cfrac{13}{10^2}\left\{1-\left(\cfrac{1}{10^2}\right)^n\right\}}{1-\cfrac{1}{10^2}}
となります。
しかしこれは第n項で作れる桁（小数点2n位）までのもので、本来循環小数は無限小数でもあるので小数点以下の桁は無限に続きます。
なので、極限を使ってより正確な等比数列の和（無限等比級数）を導きます。
なので、極限を使ってより正確な等比数列の和（無限等比級数）を導きます。
\lim_{n\to\infty}\frac{\cfrac{13}{10^2}\left\{1-\left(\cfrac{1}{10^2}\right)^n\right\}}{1-\cfrac{1}{10^2}}
nがついているのは\left(\frac{1}{10^2}\right)^nだけです。これは1未満のべき乗なのでnを大きくすれば限りなく0に近づきます。したがって、
\lim_{n\to\infty}\frac{\cfrac{13}{10^2}\left\{1-\left(\cfrac{1}{10^2}\right)^n\right\}}{1-\cfrac{1}{10^2}}=\frac{\cfrac{13}{10^2}}{1-\cfrac{1}{10^2}}
に収束します。
あとは分母と分子に10^2を掛けると、
\begin{align*}\frac{\cfrac{13}{10^2}}{1-\cfrac{1}{10^2}}×\frac{10^2}{10^2}&=\frac{13}{10^2
-1}\\[0.5em]&=\frac{13}{100-1}\\[0.5em]=\underline{\frac{13}{99}}\end{align*}
となります。これが循環小数0.\dot{1}\dot{3}を分数で表したものになります。
逆に分数を循環小数にするにはそのまま13÷99を計算しても良いですが、
\begin{align*}\frac{13}{99}&=\frac{13}{100-1}\\[0.5em]&=\frac{13}{10^2 -1}×\frac{\cfrac{1}{10^2}}{\cfrac{1}{10^2}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{13}{10^2}}{1-\cfrac{1}{10^2}}\end{align*}
と変形した後、平方根を含む分数の有理化のように分母と分子に1+\dfrac{1}{10^2}を掛けると
\frac{\cfrac{13}{10^2}\left(1+\cfrac{1}{10^2}\right)}{\left(1-\cfrac{1}{10^2}\right)\left(1+\cfrac{1}{10^2}\right)}=\frac{\cfrac{13}{10^2}\left(1+\cfrac{1}{10^2}\right)}{1-\cfrac{1}{10^4}}
分母が1-\dfrac{1}{10^4}になったので、次は分母と分子に1+\dfrac{1}{10^4}を掛けて
\frac{\cfrac{13}{10^2}\left(1+\cfrac{1}{10^2}\right)\left(1+\cfrac{1}{10^4}\right)}{\left(1-\cfrac{1}{10^4}\right)\left(1+\cfrac{1}{10^4}\right)}=\frac{\cfrac{13}{10^2}\left(1+\cfrac{1}{10^2}\right)\left(1+\cfrac{1}{10^4}\right)}{1-\cfrac{1}{10^8}}
次は分母と分子に1+\dfrac{1}{10^8}を掛けて
\frac{\cfrac{13}{10^2}\left(1+\cfrac{1}{10^2}\right)\left(1+\cfrac{1}{10^4}\right)\left(1+\cfrac{1}{10^8}\right)}{1-\cfrac{1}{10^{16}}}
この計算を続けていくと分母は1に近づいていくので
\frac{\cfrac{13}{10^2}}{1-\cfrac{1}{10^2}}≒\frac{13}{10^2}\left(1+\frac{1}{10^2}\right)\left(1+\frac{1}{10^4}\right)\left(1+\frac{1}{10^8}\right)\left(1+\frac{1}{10^{16}}\right)\cdots
となります。
これを展開すると
\begin{align*}&\frac{13}{10^2}\left(1+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^4}+\frac{1}{10^6}+\frac{1}{10^8}+\frac{1}{10^{10}}+\cdots\right)\\[0.5em]&=\frac{13}{10^2}+\frac{13}{10^4}+\frac{13}{10^6}+\frac{13}{10^8}+\frac{13}{10^{10}}+\cdots\\[0.5em]&=0.13+0.0013+0.000013+0.00000013+0.0000000013+\cdots\\
&=0.1313131313\cdots\\[0.5em]=0.\dot{1}\dot{3}\end{align*}
となり、循環小数にすることができます。
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