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2022年1月14日

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sin39°、cos39°、tan39°はどんな数？

sin39°、cos39°、tan39°

　39° (=13π60)のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。

sin⁡39°

　sinの加法定理より
sin⁡39°=sin⁡(24°+15°)=sin⁡24°cos⁡15°+cos⁡24°sin⁡15°
「sin⁡15°,cos⁡15°,tan⁡15°はどんな数？」、「sin⁡24°,cos⁡24°,tan⁡24°はどんな数？」より
sin⁡15°=2(3−1)4cos⁡15°=2(3+1)4sin⁡24°=3(5+1)−10−258cos⁡24°=(5+1)+310−258
なので、
sin⁡39°=3(5+1)−10−258⋅2(3+1)4+(5+1)+310−258⋅2(3−1)4(a)=2{(3+1)(5+1)−(3−1)10−25}16=2+6+10+30−220−103−45+21516_

cos⁡39°

　cosの加法定理より
cos⁡39°=cos⁡(24°+15°)=cos⁡24°cos⁡15°−sin⁡24°sin⁡15°=(5+1)+310−258⋅2(3+1)4−3(5+1)−10−258⋅2(3−1)4(b)=2{(3−1)(5+1)+(3+1)10−25}16=220+103−45−215−2+6−10+3016_

tan⁡39°

　三角関数の相互関係
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ
より、(a),(b)を代入して
tan⁡39°=sin⁡39°cos⁡39°=2{(3+1)(5+1)−(3−1)10−25}162{(3−1)(5+1)+(3+1)10−25}16=(3+1)(5+1)−(3−1)10−25(3−1)(5+1)+(3+1)10−25×(3−1)(5+1)−(3+1)10−25(3−1)(5+1)−(3+1)10−25=(5+1)10−25−42{23−(5−1)}×23+(5−1)23+(5−1)=(2+3+15)10−25−2(23+5−1)2(3+5)×3−53−5=(3−3−5+15)10−25+2(4−33−25+15)4=(3−3−5+15)2(10−25)+2(4−33−25+15)4=110−603−465+2815+4−33−25+152_

　それぞれの近似値は以下のようになります。
sin⁡39°=0.62932cos⁡39°=0.77715tan⁡39°=0.80978

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