42°\ (=\dfrac{7\pi}{30})のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。
\sin42°
\sinの加法定理より
\begin{align*}\sin42°&=\sin(60°-18°)\\[0.5em]&=\sin60°\cos18°-\cos60°\sin18°\end{align*}
ここで
\begin{align*}\sin60°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\cos60°&=\frac{1}{2}\end{align*}
「\sin18°,\cos18°,\tan18°はどんな数？」より
\begin{align*}\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\end{align*}
なので、
\begin{align*}\sin42°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{8}\tag{a}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8}}\end{align*}
\cos42°
\cosの加法定理より
\begin{align*}\cos42°&=\cos(60°-18°)\\[0.5em]&=\cos60°\cos18°+\sin60°\sin18°\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}\tag{b}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}}\end{align*}
\tan42°
三角関数の相互関係
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
より、\text{(a),(b)}を代入して
\begin{align*}\tan42°&=\frac{\sin42°}{\cos42°}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{8}}{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2(\sqrt{5}-1)}×\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}}\end{align*}
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin42°&=0.66913\\[1em]\cos42°&=0.74314\\[1em]\tan42°&=0.90040\end{align*}
Share:
