sin42°、cos42°、tan42°はどんな数？

　$42°\ (=\dfrac{7\pi}{30})$のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。

$\sin42°$

　$\sin$の加法定理より

$$\begin{align*}\sin42°&=\sin(60°-18°)\\[0.5em]&=\sin60°\cos18°-\cos60°\sin18°\end{align*}$$

ここで

$$\begin{align*}\sin60°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\cos60°&=\frac{1}{2}\end{align*}$$

「$\sin18°,\cos18°,\tan18°$はどんな数？」より

$$\begin{align*}\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\end{align*}$$

なので、

$$\begin{align*}\sin42°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{8}\tag{a}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8}}\end{align*}$$

$\cos42°$

　$\cos$の加法定理より

$$\begin{align*}\cos42°&=\cos(60°-18°)\\[0.5em]&=\cos60°\cos18°+\sin60°\sin18°\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}\tag{b}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}}\end{align*}$$

$\tan42°$

　三角関数の相互関係

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

より、$\text{(a),(b)}$を代入して

$$\begin{align*}\tan42°&=\frac{\sin42°}{\cos42°}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{8}}{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}\\[0.5em]&=\frac{4\sqrt{3}-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2(\sqrt{5}-1)}×\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}}\end{align*}$$

　それぞれの近似値は以下のようになります。

$$\begin{align*}\sin42°&=0.66913\\[1em]\cos42°&=0.74314\\[1em]\tan42°&=0.90040\end{align*}$$

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