sin9°、cos9°、tan9°はどんな数？ ~ 数学について考えてみる

2022年1月1日

sin9°、cos9°、tan9°はどんな数？

PLUMBAGO

　 $9°\ (=\dfrac{\pi}{20})$ のときの三角関数がどんな式で表させるのかを調べてみました。

$\sin9°$

\sin

$\sin$ の加法定理より

\begin{aligned} \sin 9 ° & = \sin (45 ° - 36 °) \\ = \sin 45 ° \cos 36 ° - \cos 45 ° \sin 36 ° \end{aligned}

$\begin{align*}\sin9°&=\sin(45°-36°)\\[0.5em]&=\sin45°\cos36°-\cos45°\sin36°\end{align*}$

ここで

\begin{aligned} \sin 45 ° & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos 45 ° & = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\cos45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$

「

\sin 36 °

$\sin36°$ がどんな数になるか求めてみよう」より

\begin{aligned} \sin 36 ° & = \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4} \\ \cos 36 ° & = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\end{align*}$

なので

\begin{aligned} \sin 9 ° & = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4} \\ (a) & = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + 1 - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})}{8} \\ = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + 1 - \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}})}{8} \\ = \underline{\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2} - 2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}} \end{aligned}

$\begin{align*}\sin9°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}\tag{a}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}})}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}$

$\cos9°$

\cos

$\cos$ の加法定理より

\begin{aligned} \cos 9 ° & = \cos (45 ° - 36 °) \\ = \cos 45 ° \cos 36 ° + \sin 45 ° \sin 36 ° \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4} \\ (b) & = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + 1 + \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})}{8} \\ = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}})}{8} \\ = \underline{\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2} + 2 \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{8}} \end{aligned}

$\begin{align*}\cos9°&=\cos(45°-36°)\\[0.5em]&=\cos45°\cos36°+\sin45°\sin36°\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1+\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}\tag{b}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1+\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}})}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}$

$\tan9°$

　三角関数の相互関係

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

より

\tan 9 ° = \frac{\sin 9 °}{\cos 9 °}

$\tan9°=\frac{\sin9°}{\cos9°}$

\text{(a),(b)

$\text{(a),(b)$ を代入して

\begin{aligned} \tan 9 ° & = \frac{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + 1 - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})}{8}}{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + 1 + \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}})}{8}} \\ = \frac{(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{(\sqrt{5} + 1) + \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} \times \frac{(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}} \\ = \frac{16 - 2 (\sqrt{5} + 1) \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4 (\sqrt{5} - 1)} \times \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} \\ = \frac{16 (\sqrt{5} + 1) - 4 (3 + \sqrt{5}) \sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{16} \\ = \frac{16 (\sqrt{5} + 1) - 4 \sqrt{(3 + \sqrt{5})^{2} (10 - 2 \sqrt{5})}}{16} \\ = \frac{16 (\sqrt{5} + 1) - 16 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{16} \\ = \underline{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}} \end{aligned}

$\begin{align*}\tan9°&=\frac{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1+\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{(\sqrt{5}+1)+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}×\frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{16-2(\sqrt{5}+1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4(\sqrt{5}-1)}×\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{16(\sqrt{5}+1)-4(3+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]&=\frac{16(\sqrt{5}+1)-4\sqrt{(3+\sqrt{5})^2(10-2\sqrt{5})}}{16}\\[0.5em]&=\frac{16(\sqrt{5}+1)-16\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\end{align*}$

　それぞれの近似値は以下のようになります。