$9°\ (=\dfrac{\pi}{20})$のときの三角関数がどんな式で表させるのかを調べてみました。
$\sin9°$
$\sin$の加法定理より
\begin{align*}\sin9°&=\sin(45°-36°)\\[0.5em]&=\sin45°\cos36°-\cos45°\sin36°\end{align*}
ここで
\begin{align*}\sin45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\cos45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}
\begin{align*}\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\end{align*}
なので
\begin{align*}\sin9°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}\tag{a}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}})}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}
$\cos9°$
$\cos$の加法定理より
\begin{align*}\cos9°&=\cos(45°-36°)\\[0.5em]&=\cos45°\cos36°+\sin45°\sin36°\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1+\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}\tag{b}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1+\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}})}{8}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}
$\tan9°$
三角関数の相互関係
\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
より
\[\tan9°=\frac{\sin9°}{\cos9°}\]
$\text{(a),(b)$を代入して
\begin{align*}\tan9°&=\frac{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1+\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{8}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{(\sqrt{5}+1)+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}×\frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{16-2(\sqrt{5}+1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4(\sqrt{5}-1)}×\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{16(\sqrt{5}+1)-4(3+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]&=\frac{16(\sqrt{5}+1)-4\sqrt{(3+\sqrt{5})^2(10-2\sqrt{5})}}{16}\\[0.5em]&=\frac{16(\sqrt{5}+1)-16\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{16}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\end{align*}
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin9°&=0.15643\\[1em]\cos9°&=0.98769\\[1em]\tan9°&=0.15838\end{align*}
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