27° (=3π20)のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。
sin27°
sinの加法定理より
sin27°=sin(45°−18°)=sin45°cos18°−cos45°sin18°
ここで
sin45°=√22cos45°=√22
「
sin18°,cos18°,tan18°はどんな数?」より
sin18°=√5−14cos18°=√10+2√54
なので、
sin27°=√22⋅√10+2√54−√22⋅√5−14=√2{√10+2√5−(√5−1)}8=2√5+√5+√2−√108−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(a)
cos27°
cosの加法定理より
cos27°=cos(45°−18°)=cos45°cos18°+sin45°sin18°=√22⋅√10+2√54+√22⋅√5−14=√2{√10+2√5+(√5−1)}8=2√5+√5−√2+√108−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(b)
tan27°
三角関数の相互関係
tanθ=sinθcosθ
より、
(a),(b)を代入して
tan27°=sin27°cos27°=√2{√10+2√5−(√5−1)}8√2{√10+2√5+(√5−1)}8=√10+2√5−(√5−1)√10+2√5+(√5−1)×√10+2√5−(√5−1)√10+2√5−(√5−1)=8−(√5−1)√10+2√52(√5+1)×√5−1√5−1=4(√5−1)−(3−√5)√10+2√54=4(√5−1)−√(3−√5)2(10+2√5)4=√5−1−√5−2√5−−−−−−−−−−−−−−−−−−
それぞれの近似値は以下のようになります。
sin27°=0.45399cos27°=0.89101tan27°=0.50953