sin27°、cos27°、tan27°はどんな数？

　$27°\ (=\dfrac{3\pi}{20})$のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。

$\sin27°$

　$\sin$の加法定理より

$$\begin{align*}\sin27°&=\sin(45°-18°)\\[0.5em]&=\sin45°\cos18°-\cos45°\sin18°\end{align*}$$

ここで

$$\begin{align*}\sin45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]\cos45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$$

「$\sin18°,\cos18°,\tan18°$はどんな数？」より

$$\begin{align*}\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\end{align*}$$

なので、

$$\begin{align*}\sin27°&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}\{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)\}}{8}\tag{a}\\[0.5em]&=\underline{\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}-\sqrt{10}}{8}}\end{align*}$$

$\cos27°$

　$\cos$の加法定理より

$$\begin{align*}\cos27°&=\cos(45°-18°)\\ &=\cos45°\cos18°+\sin45°\sin18°\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2}\{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)\}}{8}\tag{b}\\[0.5em]&=\underline{\frac{2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2}+\sqrt{10}}{8}}\end{align*}$$

$\tan27°$

　三角関数の相互関係

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

より、$\text{(a),(b)}$を代入して

$$\begin{align*}\tan27°&=\frac{\sin27°}{\cos27°}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{2}\{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)\}}{8}}{\cfrac{\sqrt{2}\{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)\}}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+(\sqrt{5}-1)}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}-1)}\\[0.5em]&=\frac{8-(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2(\sqrt{5}+1)}×\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{4(\sqrt{5}-1)-(3-\sqrt{5})\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{4(\sqrt{5}-1)-\sqrt{(3-\sqrt{5})^2(10+2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\end{align*}$$

　それぞれの近似値は以下のようになります。

$$\begin{align*}\sin27°&=0.45399\\[1em]\cos27°&=0.89101\\[1em]\tan27°&=0.50953\end{align*}$$

関連：$\sin18°,\cos18°,\tan18°$はどんな数？

関連：三角関数の加法定理

関連：三角関数$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係