sin(23°+111°)をxで表すと？

「$\sin23°+\sin67°=x$とするとき、$\sin(23°+111°)$を$x$の式で表せ。」

このような問題はどのように考えればよいでしょうか？

　この問題は三角関数の性質、相互関係、倍角の公式を駆使して解きます。

　まずは$\sin23°+\sin67°=x$の方から考えます。

三角関数の性質$\sin(90°-\theta)=\cos\theta$より、

$67°=90°-23°$なので、

$$\begin{equation}\sin23°+\sin67°=\sin23°+\cos23°=x\end{equation}$$

となります。

$\sin(23°+111°)$の方は、

$$\sin(23°+111°)=\sin134°$$

なので、三角関数の性質$\sin(180°-\theta)=\sin\theta$より、

$134°=180°-46°$なので

$$\begin{equation}\sin(23°+111°)=\sin46°\end{equation}$$

となります。

$(1)$の両辺を2乗すると

$$\sin^2 23°+2\sin23°\cos23°+\cos^2 23°=x^2$$

ここで$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$なので、

$$\begin{align*}1+2\sin23°\cos23°&=x^2\\ 2\sin23°\cos23°&=x^2-1\end{align*}$$

2倍角の公式$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$より

$$\begin{equation}\sin(2×23°)=\sin46°=x^2-1\end{equation}$$

$(2),(3)$より

$$\sin(23°+111°)=x^2-1$$

と求めることができます。