1+a+a2+a3+…と延々と続く式の因数分解をするにはどうすればよいでしょうか?
まずは、項の数を少なくして1+a+a2+a3の因数分解をしてみます。
1+a+a2+a3=(1+a)+(a2+a3)=(1+a)+a2(1+a)=(1+a)(1+a2)−−−−−−−−−−−−−
これを利用して
1+a+a2+a3+…の因数分解をします。
1+a+a2+a3+a4+a5+…=(1+a)+(a2+a3)+(a4+a5)+…=(1+a)+a2(1+a)+a4(1+a)+…=(1+a)(1+a2+a4+a6+…)=(1+a){(1+a2)+(a4+a6)+…}=(1+a){(1+a2)+a4(1+a2)+…}=(1+a)(1+a2)(1+a4+a8+a12+…)⋮=(1+a)(1+a2)(1+a4)(1+a8)…−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
というように因数分解をすることができます。
ちなみに1+a+a2+a3+…というのは、初項1、公比aの等比数列の和(無限等比級数)です。
項数が有限かつ
a≠1である場合は等比数列の和
an−1a−1(n:1の項も含めた項数)
を利用して因数分解できます。
因数分解した式は総乗をもちいると
∞∏k=1(1+a2k−1)
と書けます。