Loading web-font TeX/Main/Regular
横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2022年1月3日

1+a+a^2+a^3+…の因数分解

1+a+a^2+a^3+...

 1+a+a^2+a^3+\ldotsと延々と続く式の因数分解をするにはどうすればよいでしょうか?


 まずは、項の数を少なくして1+a+a^2+a^3の因数分解をしてみます。
\begin{align*}1+a+a^2+a^3&=(1+a)+(a^2+a^3)\\ &=(1+a)+a^2(1+a)\\ &=\underline{(1+a)(1+a^2)}\end{align*}
 これを利用して1+a+a^2+a^3+\ldotsの因数分解をします。
\begin{align*}1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+\ldots&=(1+a)+(a^2+a^3)+(a^4+a^5)+\ldots\\ &=(1+a)+a^2(1+a)+a^4(1+a)+\ldots\\ &=(1+a)(1+a^2+a^4+a^6+\ldots)\\ \\ &=(1+a)\{(1+a^2)+(a^4+a^6)+\ldots\}\\ &=(1+a)\{(1+a^2)+a^4(1+a^2)+\ldots\}\\ &=(1+a)(1+a^2)(1+a^4+a^8+a^{12}+\ldots)\\ &\qquad\vdots\\ &=\underline{(1+a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8)\ldots}\end{align*}
というように因数分解をすることができます。

 ちなみに1+a+a^2+a^3+\ldotsというのは、初項1、公比aの等比数列の和(無限等比級数)です。

項数が有限である場合は等比数列の和
\frac{a^n-1}{a-1}\quad(n:1の項も含めた項数)


を利用して因数分解できる場合があります。

因数分解した式は総乗をもちいると
\prod_{k=1}^\infty{(1+a^{2^{k-1}})}
と書けます。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ