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2022年1月3日

1+a+a^2+a^3+…の因数分解

1+a+a^2+a^3+...

 1+a+a2+a3+と延々と続く式の因数分解をするにはどうすればよいでしょうか?


 まずは、項の数を少なくして1+a+a2+a3の因数分解をしてみます。
1+a+a2+a3=(1+a)+(a2+a3)=(1+a)+a2(1+a)=(1+a)(1+a2)_
 これを利用して1+a+a2+a3+の因数分解をします。
1+a+a2+a3+a4+a5+=(1+a)+(a2+a3)+(a4+a5)+=(1+a)+a2(1+a)+a4(1+a)+=(1+a)(1+a2+a4+a6+)=(1+a){(1+a2)+(a4+a6)+}=(1+a){(1+a2)+a4(1+a2)+}=(1+a)(1+a2)(1+a4+a8+a12+)=(1+a)(1+a2)(1+a4)(1+a8)_
というように因数分解をすることができます。

 ちなみに1+a+a2+a3+というのは、初項1、公比aの等比数列の和(無限等比級数)です。

項数が有限かつa1である場合は等比数列の和
an1a1(n:1)
を利用して因数分解できます。
因数分解した式は総乗をもちいると
k=1(1+a2k1)
と書けます。

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