$a^3+b^3+c^3-3abc$の因数分解を2つの段階に分けて導出します。
まずは$(a+b+c)^3$を展開します。
\begin{align*}(a+b+c)^3&=(a+b+c)(a+b+c)^2\\ \\ &=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)\\ \\
&=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2+6abc\\ \\
&=a^3+b^3+c^3+(3a^2b+3ab^2+3abc)+(3b^2c+3bc^2+3abc)\\
&\qquad+(3c^2a+3ca^2+3abc)-3abc\\ \\
&=a^3+b^3+c^3+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)\\ &\qquad+3ca(a+b+c)-3abc\\ \\
&=a^3+b^3+c^3-3abc+(a+b+c)(3ab+3bc+3ca)\end{align*}
次に上の結果をもとに$a^3+b^3+c^3-3abc$の因数分解を導出します。
\begin{align*}a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)^3-(a+b+c)(3ab+3bc+3ca)\\ \\
&=(a+b+c)\left\{(a+b+c)^2-(3ab+3bc+3ca)\right\}\\ \\ &=(a+b+c)\\
&\qquad\left\{(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-(3ab+3bc+3ca)\right\}\\ \\ \therefore a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align*}
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