直線の方程式と定義域

「上図のグラフに描かれている$\text{(a), (b), (c)}$の直線の式と定義域を答えよ。
ただし、$\text{(a)}$は点$\text{A, B}$を含む、$\text{(b)}$は点$\text{B}$を含まないが点$\text{C}$を含む、$\text{(c)}$は点$\text{C}$も$\text{D}$も含まないものとする。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　直線の方程式を求める公式は$(a_1, a_2), (b_1, b_2)$の2点を通る場合

$$\begin{eqnarray*}\large y-a_2=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(x-a_1)\\[0.5em]&(ただしa_1\neq b_1)\end{eqnarray*}$$

で表されます。
$a_1=b_1$のときは、$x=a_1$となります。

　定義域とは、独立変数$x$のとる値の範囲のことです。従属変数$y$のとる値の範囲は値域といいます。
定義域、値域は不等式で表します。

$x>-2$の場合、$x$は$-2$未満であることを表し、$x=-2$は含みません。
例えば、数の大きさが小数点第3位より小さいものが存在していないとしたら$x=-1.999$からが$x>-2$の範囲になります。

$x\leqq3$の場合、$x$は$3$以下であることを表し、こちらは$x=3$を含みます。

　これを踏まえて問題を解きます。

$\text{(a)}$

　x座標に関わらずy座標が$-1$のまま変わらないので、直線の式は$y=-1$です。

点$\text{A}$のx座標は$-3$、点$\text{B}$のx座標は$1$で$\text{(a)}$はどちらも含むので定義域は$-3\leqq x\leqq1$です。

$\text{(b)}$

直線の方程式は、点$\text{B}(1, -1)$、点$\text{C}(3, 3)$より

$$\begin{align*}y-3&=\frac{3-(-1)}{3-1}(x-3)\\[0.5em]&=2(x-3)\\[0.5em]&=2x-6\\[0.5em]y&=2x-3\end{align*}$$

点$\text{B}$は含むが、点$\text{C}$は含まないので定義域は$1\leqq x<3$

$\text{(c)}$

　直線の方程式は、点$\text{C}(3, 3)$、点$\text{D}(6, 2)$より

$$\begin{align*}y-2&=\frac{2-3}{6-3}(x-6)\\[0.5em]&=-\frac{1}{3}(x-6)\\[0.5em]&=-\frac{1}{3}x+2\\[0.5em]y&=-\frac{1}{3}x+4\end{align*}$$

点$\text{C, D}$を含まないので定義域は$3<x<6$

　まとめると答えは

$$\begin{align*}\mathbf{\text{(a)}}:&y=-1&(-3\leqq x\leqq1)\\[0.5em]\mathbf{\text{(b)}}:&y=2x-3&(1\leqq x<3)\\[0.5em]\mathbf{\text{(c)}}:&y=-\dfrac{1}{3}x+4&(3<x<6)\end{align*}$$

となります。