直線の方程式と定義域

図1

「図1のグラフに描かれている(a)、(b)、(c)の直線の式と定義域を答えよ。
ただし、(a)は点$A,B$を含む、(b)は点$B$を含まないが点Cを含む、(c)は点$C$も$D$も含まないものとする。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　直線の方程式を求める公式は$(a_1,a_2),(b_1,b_2)$の2点を通る場合

\begin{eqnarray*}\large{y-a_2=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(x-a_1)}\\[0.5em]&(ただしa_1\neq b_1)\end{eqnarray*}

で表されます。
$\large{a_1=b_1}$のときは、$\large{x=a_1}$となります。

　定義域とは、$x$のとる値の範囲のことです。$y$のとる値の範囲は値域といいます。

定義域、値域は不等式で表します。

$x>-2$の場合、$x$は$-2$未満であることを表し、$x=-2$は含みません。
例えば、数の大きさが小数点第3位より小さいものが存在していないとしたら$x=-1.999$からが$x>-2$の範囲になります。

$x\leqq3$の場合、$x$は$3$以下であることを表し、こちらは$x=3$を含みます。

　これを踏まえて問題を解きます。

(a)

　x座標に関わらずy座標が$-1$のまま変わらないので、直線の式は$y=-1$です。

点$A$のx座標は$-3$、点$B$のx座標は$1$で(a)はどちらも含むので定義域は$-3\leqq x\leqq1$です。

(b)

直線の方程式は、点$B(1, -1)$、点$C(3, 3)$より

\begin{align*}y-3&=\frac{3-(-1)}{3-1}(x-3)\\[0.5em]&=2(x-3)\\[0.5em]&=2x-6\\[0.5em]y&=2x-3\end{align*}

点$B$は含むが、点$C$は含まないので定義域は$1\leqq x<3$

(c)

　直線の方程式は、点$C(3, 3)$、点$D(6, 2)$より

\begin{align*}y-2&=\frac{2-3}{6-3}(x-6)\\[0.5em]&=-\frac{1}{3}(x-6)\\[0.5em]&=-\frac{1}{3}x+2\\[0.5em]y&=-\frac{1}{3}x+4\end{align*}

点$C,D$を含まないので定義域は$3<x<6$

　まとめると答えは

(a) $y=-1\ (-3\leqq x\leqq1)$

(b) $y=2x-3\ (1\leqq x<3)$

(c) $y=-\dfrac{1}{3}x+4\ (3<x<6)$

となります。