立方根を含む分数の分母の有理化

「上の分数を分母の有理化せよ。」

　どうやって立方根を含む分数の分母の有理化をするのかを考えてみます。

　分母が単項、例えば

$$\frac{1}{\sqrt[3]{5}}$$

のような場合、

$$(\sqrt[3]{a})^3=a$$

であることを利用して、

$$\frac{1}{\sqrt[3]{5}}×\frac{(\sqrt[3]{5})^2}{(\sqrt[3]{5})^2}=\frac{(\sqrt[3]{5})^2}{5}=\frac{\sqrt[3]{25}}{5}$$

となります。

　分母が2項の場合、平方根を含む分数であれば、例えば
$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$
の場合は、
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
を利用して有理化します。

$$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}&=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}\\ \\ &=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}\\ \\ &=\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{align*}$$

立方根の場合は

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
を利用して有理化します。

上の問題の場合、

$$(\sqrt[3]{2})^2-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2=\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}$$

なので、

$$\begin{align*}\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}&=\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}×\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}\\ \\ &=\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{2+3}\\ \\ &=\underline{\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{5}}\end{align*}$$

これが答えとなります。

　ちなみに分母が3項の場合は、

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

を利用するのですが、$3abc$の項に着目すると分母が

$$a+a^2+b\quad(a:整数でない立方根,b:整数)$$

という形である場合一度の計算によって有理化ができますが、そうでない場合は立方根が分母に残ってしまうので、もう一度有理化のための計算をおこなわなければなりません。

例：

$$(1)\ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-3}\qquad(2)\ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}$$

(1)

$$\begin{align*}&(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{4}\\ \\ &(\sqrt[3]{2})^2+(\sqrt[3]{4})^2+(-3)^2-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}+3\sqrt[3]{4}+3\sqrt[3]{2}\\ &=5\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}+7\end{align*}$$

より

$$\begin{align*}&\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-3}×\frac{5\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}+7}{5\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}+7}\\ \\ &=\frac{5\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}+7}{2+4-27-3×2×(-3)}\\ \\ &=\frac{5\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}+7}{-3}\\ \\ &=-\frac{5\sqrt[3]{2}+4\sqrt[3]{4}+7}{3}\end{align*}$$

(2)

$$\begin{align*}&(\sqrt[3]{2})^2+(\sqrt[3]{3})^2+(\sqrt[3]{4})^2-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}\\ &=2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2\end{align*}$$

より

$$\begin{align*}&\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}}×\frac{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2}{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2}\\ \\ &=\frac{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2}{2+3+4-3×2×\sqrt[3]{3}}\\ \\ &=\frac{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2}{9-6\sqrt[3]{3}}\\ \\ &=\frac{1}{3}\cdot\frac{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2}{3-2\sqrt[3]{3}}\end{align*}$$

分母が2項になったので、

$$3^2-3\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2=9-3\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$$

より

$$\begin{align*}&\frac{1}{3}\cdot\frac{2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2}{3-2\sqrt[3]{3}}×\frac{9-3\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}{9-3\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}\\ \\ =&\frac{1}{3}\cdot\frac{(2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{12}-2)(9-3\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{27-24}\\ \\ =&\frac{1}{3}\cdot\frac{15\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{3}+6\sqrt[3]{4}-15\sqrt[3]{6}+7\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{12}+5\sqrt[3]{18}+6\sqrt[3]{36}-27}{3}\\ \\ =&\frac{15\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{3}+6\sqrt[3]{4}-15\sqrt[3]{6}+7\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{12}+5\sqrt[3]{18}+6\sqrt[3]{36}-27}{9}\end{align*}$$

となります。

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