分数を含む文字式の計算（足し算・引き算） ~ 数学について考えてみる

2021年12月16日

分数を含む文字式の計算（足し算・引き算）

PLUMBAGO

上の文字式を計算せよ。

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　分数を含む文字式の計算は、通分をおこない分母の数を揃えて計算します。
通分は下のように分母と分子の両方に同じ数を掛けても大きさが変わらないことを利用した方法です。

\frac{a}{b} = \frac{a \times c}{b \times c}

$\frac{a}{b}=\frac{a× c}{b× c}$

これは

\frac{a \times c}{b \times c} = \frac{a}{b} \times \frac{c}{c} = \frac{a}{b} \times 1

$\frac{a× c}{b× c}=\frac{a}{b}×\frac{c}{c}=\frac{a}{b}×1$

のように、

1

$1$ を掛けていることと同じであるため大きさが変わりません。

ちなみに、

\frac{a}{b} = \frac{a \times \frac{1}{c}}{b \times \frac{1}{c}} = \frac{a \div c}{b \div c}

$\frac{a}{b}=\frac{a× \frac{1}{c}}{b× \frac{1}{c}}=\frac{a\div c}{b\div c}$

も成り立つため、約分ができることがわかります。

　問題の式は分母が

2, 3, 4

$2,3,4$ の公倍数の

12

$12$ になるように通分します。

\begin{aligned} \frac{(a + 4 b) \times 4}{3 \times 4} + \frac{(2 a - b) \times 6}{2 \times 6} - \frac{(3 a - 5 b) \times 3}{4 \times 3} \\ = & \frac{(a + 4 b) \times 4}{12} + \frac{(2 a - b) \times 6}{12} - \frac{(3 a - 5 b) \times 3}{12} \\ = & \frac{(a + 4 b) \times 4 + (2 a - b) \times 6 - (3 a - 5 b) \times 3}{12} \end{aligned}

$\begin{align*}&\frac{\left(a+4b\right)×4}{3×4}+\frac{\left(2a-b\right)×6}{2×6}-\frac{\left(3a-5b\right)×3}{4×3}\\[0.5em]=&\frac{\left(a+4b\right)×4}{12}+\frac{\left(2a-b\right)×6}{12}-\frac{\left(3a-5b\right)×3}{12}\\[0.5em]=&\frac{\left(a+4b\right)×4+\left(2a-b\right)×6-\left(3a-5b\right)×3}{12}\end{align*}$

分子は分配法則を利用して計算します。

(a + b) \times c = a \times c + b \times c

$\left(a+b\right)× c=a× c+b× c$

よって、

\frac{(4 a + 16 b) + (12 a - 6 b) - (9 a - 15 b)}{12} = \frac{7 a + 25 b}{12}

$\frac{\left(4a+16b\right)+\left(12a-6b\right)-\left(9a-15b\right)}{12}=\mathbf{\frac{7a+25b}{12}}$

となります。

また、

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

となることから、

\frac{a + 4 b}{3} + \frac{2 a - b}{2} - \frac{3 a - 5 b}{4} = (\frac{a}{3} + \frac{4 b}{3}) + (\frac{2 a}{2} - \frac{b}{c}) - (\frac{3 a}{4} - \frac{5 b}{4})

$\frac{a+4b}{3}+\frac{2a-b}{2}-\frac{3a-5b}{4}=\left(\frac{a}{3}+\frac{4b}{3}\right)+\left(\frac{2a}{2}-\frac{b}{c}\right)-\left(\frac{3a}{4}-\frac{5b}{4}\right)$

a

$a$ を含む同類項と

b

$b$ を含む同類項をそれぞれまとめて通分して計算します。

\begin{aligned} (\frac{a}{3} + \frac{2 a}{2} - \frac{3 a}{4}) + (\frac{4 b}{3} + \frac{- b}{2} - \frac{- 5 b}{4}) \\ = & (\frac{4 a}{12} + \frac{12 a}{12} - \frac{9 a}{12}) + (\frac{16 b}{12} + \frac{- 6 b}{12} - \frac{- 15 b}{12}) \\ = & \frac{4 a + 12 a - 9 a}{12} + \frac{16 b - 6 b + 15 b}{12} \\ = & \frac{7 a}{12} + \frac{25 b}{12} \end{aligned}

$\begin{align*}&\left(\frac{a}{3}+\frac{2a}{2}-\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{4b}{3}+\frac{-b}{2}-\frac{-5b}{4}\right)\\[0.5em]=&\left(\frac{4a}{12}+\frac{12a}{12}-\frac{9a}{12}\right)+\left(\frac{16b}{12}+\frac{-6b}{12}-\frac{-15b}{12}\right)\\[0.5em]=&\frac{4a+12a-9a}{12}+\frac{16b-6b+15b}{12}\\[0.5em]=&\mathbf{\frac{7a}{12}+\frac{25b}{12}}\end{align*}$

または、