分数を含む文字式の計算は、通分を行い分母の数を揃えて計算します。
通分は下のように分母と分子の両方に同じ数を掛けても大きさが変わらないことを利用した方法です。
\[\frac{a}{b}=\frac{a× c}{b× c}\]
これは
\[\frac{a× c}{b× c}=\frac{a}{b}×\frac{c}{c}=\frac{a}{b}×1\]
のように、1を掛けていることと同じであるため大きさが変わりません。
ちなみに、
\[\frac{a}{b}=\frac{a× \frac{1}{c}}{b× \frac{1}{c}}=\frac{a\div c}{b\div c}\]
も成り立つため、約分ができることがわかります。
問題の式は分母が2、3、4の公倍数の12になるように通分します。
\begin{align*}&\frac{\left(a+4b\right)×4}{3×4}+\frac{\left(2a-b\right)×6}{2×6}-\frac{\left(3a-5b\right)×3}{4×3}\\ \\ =&\frac{\left(a+4b\right)×4}{12}+\frac{\left(2a-b\right)×6}{12}-\frac{\left(3a-5b\right)×3}{12}\\ \\ =&\frac{\left(a+4b\right)×4+\left(2a-b\right)×6-\left(3a-5b\right)×3}{12}\end{align*}
分子は分配法則を利用して計算します。
\[\left(a+b\right)× c=a× c+b× c\]
よって、
\[\frac{\left(4a+16b\right)+\left(12a-6b\right)-\left(9a-15b\right)}{12}=\underline{\frac{7a+25b}{12}}\]
となります。
また、
\[\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\]
となることから、
\[\frac{a+4b}{3}+\frac{2a-b}{2}-\frac{3a-5b}{4}=\left(\frac{a}{3}+\frac{4b}{3}\right)+\left(\frac{2a}{2}-\frac{b}{c}\right)-\left(\frac{3a}{4}-\frac{5b}{4}\right)\]
aを含む同類項とbを含む同類項をそれぞれまとめて通分して計算します。
\begin{align*}&\left(\frac{a}{3}+\frac{2a}{2}-\frac{3a}{4}\right)+\left(\frac{4b}{3}+\frac{-b}{2}-\frac{-5b}{4}\right)\\ \\ =&\left(\frac{4a}{12}+\frac{12a}{12}-\frac{9a}{12}\right)+\left(\frac{16b}{12}+\frac{-6b}{12}-\frac{-15b}{12}\right)\\ \\ =&\frac{4a+12a-9a}{12}+\frac{16b-6b+15b}{12}\\ \\ =&\underline{\frac{7a}{12}+\frac{25b}{12}}\end{align*}
または、
\[\frac{7}{12}a+\frac{25}{12}b\]
のようにaを含む項とbを含む項に分けても良いです。
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