多項式を割る式で割ったときの余りと余りを同じ割る式で割ったときの余りが等しいのはなぜ？

　多項式の割り算の余りの性質として、

”$f_{(x)}$を$g_{(x)}h_{(x)}$で割ったときの余りを$R_{(x)}$とすると、$f_{(x)}$を$g_{(x)}$で割ったときの余りは$R_{(x)}$を$g_{(x)}$で割ったときの余りと等しい。”

というものがあります。

これは、なぜ成立するのでしょうか？

　まずは余りのある割り算をどう式に表すのかをおさらいします。

\[7\div3=2\ 余り1\]

という割り算を掛け算を使って書き換えると

\[7=3×2+1\]

と表すことができます。

　これを踏まえて$f_{(x)}$を$g_{(x)}h_{(x)}$で割ったときの余りが$R_{(x)}$のとき、

\begin{equation}f_{(x)}=g_{(x)}h_{(x)}P_{(x)}+R_{(x)}\quad(P_{(x)}:商)\end{equation}

と表わせます。

　$f_{(x)}$を$g_{(x)}$で割ったとき、$h_{(x)}P_{(x)}$が商で余りが0なので余りが出るかは$R_{(x)}$を$g_{(x)}$で割った結果によることがわかります。

$R_{(x)}$を$g_{(x)}$で割った余りが$r_{(x)}$であったとき、

\begin{equation}R_{(x)}=g_{(x)}Q_{(x)}+r_{(x)}\end{equation}

と表されます。

(2)を(1)に代入すると

\begin{align*}f_{(x)}&=g_{(x)}h_{(x)}P_{(x)}+g_{(x)}Q_{(x)}+r_{(x)}\\ &=g_{(x)}(h_{(x)}P_{(x)}+Q_{(x)})+r_{(x)}\end{align*}

となるので、$f_{(x)}$を$g_{(x)}$で割ったときの余りは$r_{(x)}$となります。

　$R_{(x)}$を$g_{(x)}$で割ったときを表したのは前述の通り(2)のことで、$f_{(x)}$を$g_{(x)}$で割ったときの余りと$R_{(x)}$を$g_{(x)}$で割ったときの余りはどちらも$r_{(x)}$となることから、余りが等しくなることを確かめることができました。