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2022年11月17日

x^2の係数が1でない2次式を工夫して因数分解する

6x2+7x36x2+7x3
 上のようにx2x2の係数が11でない2次式を因数分解するのは、x2の係数が1の2次式を因数分解するより少々面倒に感じます。

これを工夫して少し簡単に因数分解してみます。


x^2の係数を定数項に移して掛け合わせる
 まずはx2の係数6を定数項3に移して掛け合わせます。
x2の係数が1の2次式になるので、これを因数分解します。
x2+7x18=(x+9)(x2)
それぞれの因数の定数項を元々の2次式のx2の係数6で割ります。
元々のx^2の係数で割り、因数分解後の式を求める
因数x+9の定数項96で割ると32となるので、分子の3を定数項に残して分母の2xの係数に移すと2x+3になります。
また、因数x2の定数項26で割ると13となるので、分子の1を定数項に残して分母の3xの係数に移すと3x1になります。
ここで注意点があり、上のように定数項が負の数の場合はマイナスは分子に付け、割る数であるx2の係数が負の数の場合はマイナスは分母に付けます。
これら変形した因数同士の積(2x+3)(3x1)6x27x3を因数分解した形となります。
6x2+7x3=(2x+3)(3x1)

 これがどんな2次式でもこの因数分解法が使えることを確かめてみます。
x21でない2次式の因数分解は一般に
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)(a,b,c,d:)
という形になります。
次にx2の係数acを定数項へ移し、掛け合わせたものの因数分解は
x2+(ad+bc)x+abcd=(x+bc)(x+ad)
となります。
この2つの式を比較すると
工夫した因数分解
(2)の2次式の因数x+bcの定数項bc(1)x2の係数acで割るとbaです。
分子のbを残し分母のaxの係数に移すとax+bになります。

(2)の2次式の因数x+adの定数項ad(1)x2の係数acで割るとdcです。
分子のdを残し分母のcxの係数に移すとcx+dになります。

したがって、(1)の右辺に直すことができます。
このようにどんな2次式においても、この因数分解法が使えることがわかります。

参考:FASTEST way to factor a trinomial! #shorts - YouTube

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