6x2+7x−36x2+7x−3
上のようにx2x2の係数が11でない2次式を因数分解するのは、x2の係数が1の2次式を因数分解するより少々面倒に感じます。
これを工夫して少し簡単に因数分解してみます。
まずはx2の係数6を定数項−3に移して掛け合わせます。
x2の係数が1の2次式になるので、これを因数分解します。
x2の係数が1の2次式になるので、これを因数分解します。
x2+7x−18=(x+9)(x−2)
それぞれの因数の定数項を元々の2次式のx2の係数6で割ります。
因数x+9の定数項9を6で割ると32となるので、分子の3を定数項に残して分母の2をxの係数に移すと2x+3になります。
また、因数x−2の定数項−2を6で割ると−13となるので、分子の−1を定数項に残して分母の3をxの係数に移すと3x−1になります。
ここで注意点があり、上のように定数項が負の数の場合はマイナスは分子に付け、割る数であるx2の係数が負の数の場合はマイナスは分母に付けます。
また、因数x−2の定数項−2を6で割ると−13となるので、分子の−1を定数項に残して分母の3をxの係数に移すと3x−1になります。
ここで注意点があり、上のように定数項が負の数の場合はマイナスは分子に付け、割る数であるx2の係数が負の数の場合はマイナスは分母に付けます。
これら変形した因数同士の積(2x+3)(3x−1)が6x2−7x−3を因数分解した形となります。
6x2+7x−3=(2x+3)(3x−1)
これがどんな2次式でもこの因数分解法が使えることを確かめてみます。
x2が1でない2次式の因数分解は一般に
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)(a,b,c,d:定数)
という形になります。
次にx2の係数acを定数項へ移し、掛け合わせたものの因数分解は
x2+(ad+bc)x+abcd=(x+bc)(x+ad)
となります。
この2つの式を比較すると
(2)の2次式の因数x+adの定数項adを(1)のx2の係数acで割るとdcです。
分子のdを残し分母のcをxの係数に移すとcx+dになります。
したがって、(1)の右辺に直すことができます。
このようにどんな2次式においても、この因数分解法が使えることがわかります。
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