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2022年11月17日

x^2の係数が1でない2次式を工夫して因数分解する

\large 6x^2+7x-3
 上のようにx^2の係数が1でない2次式を因数分解するのは、x^2の係数が1の2次式を因数分解するより少々面倒に感じます。

これを工夫して少し簡単に因数分解してみます。


x^2の係数を定数項に移して掛け合わせる
 まずはx^2の係数6を定数項-3に移して掛け合わせます。
x^2の係数が1の2次式になるので、これを因数分解します。
x^2+7x-18=(x+9)(x-2)
それぞれの因数の定数項を元々の2次式のx^2の係数6で割ります。
元々のx^2の係数で割り、因数分解後の式を求める
因数x+9の定数項96で割ると\dfrac{3}{2}となるので、分子の3を定数項に残して分母の2xの係数に移すと2x+3になります。
また、因数x-2の定数項-26で割ると\dfrac{-1}{3}となるので、分子の-1を定数項に残して分母の3xの係数に移すと3x-1になります。
ここで注意点があり、上のように定数項が負の数の場合はマイナスは分子に付け、割る数であるx^2の係数が負の数の場合はマイナスは分母に付けます。
これら変形した因数同士の積(2x+3)(3x-1)6x^2-7x-3を因数分解した形となります。
6x^2+7x-3=(2x+3)(3x-1)

 これがどんな2次式でもこの因数分解法が使えることを確かめてみます。
x^21でない2次式の因数分解は一般に
\begin{equation}\begin{aligned}acx^2+(ad+bc)x+bd&=(ax+b)(cx+d)\\ &(a,b,c,d:定数)\end{aligned}\end{equation}
という形になります。
次にx^2の係数acを定数項へ移し、掛け合わせたものの因数分解は
\begin{equation}x^2+(ad+bc)x+abcd=(x+bc)(x+ad)\end{equation}
となります。
この2つの式を比較すると
工夫した因数分解
(2)の2次式の因数x+bcの定数項bc(1)x^2の係数acで割ると\dfrac{b}{a}です。
分子のbを残し分母のaxの係数に移すとax+bになります。

(2)の2次式の因数x+adの定数項ad(1)x^2の係数acで割ると\dfrac{d}{c}です。
分子のdを残し分母のcxの係数に移すとcx+dになります。

したがって、(1)の右辺に直すことができます。
このようにどんな2次式においても、この因数分解法が使えることがわかります。

参考:FASTEST way to factor a trinomial! #shorts - YouTube


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