「上図のように円周角$a,b,c,d,e,f,g$をつくる。これら円周角に対する弧の長さの和は円周の7割である。
円周角の和$a+b+c+d+e+f+g$は何度になるか？」
これを解くにはまず、それぞれの弧に対する中心角を考えてみます。
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上図のように各弧の両端と円の中心を結ぶと7個のおうぎ形ができます。
円周角の定理より同じ弧に対する中心角は円周角の2倍の大きさをもつので、おうぎ形の中心角の和は
\begin{align*}&2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g\\
&\quad=2(a+b+c+d+e+f+g)\end{align*}
となります。おうぎ形を移動させ7個のおうぎ形を1つに合わせると、弧の長さが円周の7割、中心角が$2(a+b+c+d+e+f+g)$の大きなおうぎ形ができます。
おうぎ形の弧の長さと中心角の大きさは比例の関係にあるから、中心角も円の中心角$360°$の7割の大きさを持ちます。
したがって、大きなおうぎ形の中心角は
\[2(a+b+c+d+e+f+g)=360°×0.7=252°\]
となるため、円周角の和は
\[a+b+c+d+e+f+g=\frac{252°}{2}=126°\]
であるとわかります。
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