円周角の和は何度？

「上図のように円周角$a,b,c,d,e,f,g$をつくる。これら円周角に対する弧の長さの和は円周の7割である。
円周角の和$a+b+c+d+e+f+g$は何度になるか？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　これを解くにはまず、それぞれの弧に対する中心角を考えてみます。

上図のように各弧の両端と円の中心を結ぶと7個のおうぎ形ができます。

円周角の定理より同じ弧に対する中心角は円周角の2倍の大きさをもつので、おうぎ形の中心角の和は

$$\begin{align*}&2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g\\ &\quad=2(a+b+c+d+e+f+g)\end{align*}$$

となります。

おうぎ形を移動させ7個のおうぎ形を1つに合わせると、弧の長さが円周の7割、中心角が$2(a+b+c+d+e+f+g)$の大きなおうぎ形ができます。
おうぎ形の弧の長さと中心角の大きさは比例の関係にあるから、中心角も円の中心角$360°$の7割の大きさを持ちます。

関連：おうぎ形の弧の長さや面積はなぜ角度の分数を使って求められるのか？

　したがって、大きなおうぎ形の中心角は

$$2(a+b+c+d+e+f+g)=360°×0.7=252°$$

となるため、円周角の和は

$$a+b+c+d+e+f+g=\frac{252°}{2}=126°$$

であるとわかります。

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