余弦定理　なぜ成り立つ？ ~ 数学について考えてみる

2022年11月23日

余弦定理　なぜ成り立つ？

PLUMBAGO

　余弦定理とは

BC = a, AC = b, AB = c

$\text{BC}=a,\text{AC}=b,\text{AB}=c$ である

△ ABC

$△\text{ABC}$ について

\begin{matrix} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - b c cos ∠ A b^{2} & = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos ∠ B c^{2} & = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos ∠ C \\ (1) (2) (3) \end{matrix}

$\begin{align*}a^2&=b^2+c^2-bc\cos∠\text{A}\tag1\\[0.5em]b^2&=c^2+a^2-2ca\cos∠\text{B}\tag2\\[0.5em]c^2&=a^2+b^2-2ab\cos∠\text{C}\tag3\end{align*}$

という関係があるという定理です。

なぜこのような式になるのでしょうか？

鋭角三角形の場合

　上図のような鋭角三角形

ABC

$\text{ABC}$ の場合を考えます。

∠ A

$∠\text{A}$ に着目するとき、頂点

C

$\text{C}$ から

AB

$\text{AB}$ に対し垂線を引き、その足を

H

$\text{H}$ とします。

直角三角形

ACH

$\text{ACH}$ の三角比より

\begin{matrix} AH & = b cos ∠ A CH & = b sin ∠ A \end{matrix}

$\begin{align*}\text{AH}&=b\cos∠\text{A}\\[0.5em]\text{CH}&=b\sin∠\text{A}\end{align*}$

となるので、直角三角形

BCH

$\text{BCH}$ において三平方の定理より

\begin{matrix} {BC}^{2} & = {BH}^{2} + {CH}^{2} a^{2} & = (c - b cos ∠ A)^{2} + (b sin ∠ A)^{2} & (∵ BH = c - b cos ∠ A) = c^{2} - 2 b c cos ∠ A + b^{2} {cos}^{2} ∠ A + b^{2} {sin}^{2} ∠ A \end{matrix}

$\begin{align*}\text{BC}^2&=\text{BH}^2+\text{CH}^2\\[0.5em]a^2&=(c-b\cos∠\text{A})^2+(b\sin∠\text{A})^2&(\because \text{BH}=c-b\cos∠\text{A})\\[0.5em]&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2\sin^2∠\text{A}\end{align*}$

ここで、三角関数の相互関係より

{sin}^{2} ∠ A = 1 - {cos}^{2} ∠ A

$\sin^2∠\text{A}=1-\cos^2∠\text{A}$

なので

\begin{matrix} a^{2} & = c^{2} - 2 b c cos ∠ A + b^{2} {cos}^{2} ∠ A + b^{2} (1 - {cos}^{2} ∠ A) ∴ a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos ∠ A \end{matrix}

$\begin{align*}a^2&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2(1-\cos^2∠\text{A})\\[0.5em]\therefore a^2&=b^2+c^2-2bc\cos∠\text{A}\end{align*}$

となり、余弦定理のうち

(1)

$(1)$ が成り立つことがわかります。

　 $∠\text{B},∠\text{C}$ に着目した場合も同様の手順により $(2),(3)$ を得ることができ、余弦定理が成り立つことがわかります。

直角三角形の場合

∠ A = 90 °

$∠\text{A}=90°$ である直角三角形

ABC

$\text{ABC}$ の場合を考えます。

(1)

$(1)$ について考えると

cos 90 ° = 0

$\cos90°=0$ なので

\begin{matrix} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos 90 ° ∴ a^{2} & = b^{2} + c^{2} \end{matrix}

$\begin{align*}a^2&=b^2+c^2-2bc\cos90°\\[0.5em]\therefore a^2&=b^2+c^2\end{align*}$

となり、三平方の定理そのものとなります。

　 $∠\text{B},∠\text{C}$ に着目した場合、鋭角三角形と同様に $(2),(3)$ を得ることができ、余弦定理が成り立つことがわかります。

鈍角三角形の場合

∠ A

$∠\text{A}$ が鈍角である鈍角三角形の場合を考えます。

鋭角三角形の場合と同様に

∠ A

$∠\text{A}$ に着目し、頂点

C

$\text{C}$ から辺

AB

$\text{AB}$ の延長に対し垂線を引き、その足を

H

$\text{H}$ とします。
直角三角形

ACH

$\text{ACH}$ において

∠ CAH = 180 ° - ∠ A

$∠\text{CAH}=180°-∠\text{A}$ となります。

∠ CAH

$∠\text{CAH}$ に着目して三角比は

\begin{matrix} AH & = b cos ∠ CAH = b cos (180 ° - ∠ A) CH & = b sin ∠ CAH = b sin (180 ° - ∠ A) \end{matrix}

$\begin{align*}\text{AH}&=b\cos∠\text{CAH}=b\cos(180°-∠\text{A})\\[0.5em]\text{CH}&=b\sin∠\text{CAH}=b\sin(180°-∠\text{A})\end{align*}$

直角三角形

BCH

$\text{BCH}$ において三平方の定理より

\begin{matrix} {BC}^{2} & = {BH}^{2} + {CH}^{2} a^{2} & = {c + b cos (180 ° - ∠ A)}^{2} + {b sin (180 ° - ∠ A)}^{2} \end{matrix}

$\begin{align*}\text{BC}^2&=\text{BH}^2+\text{CH}^2\\[0.5em]a^2&=\{c+b\cos(180°-∠\text{A})\}^2+\{b\sin(180°-∠\text{A})\}^2\end{align*}$

ここで、三角関数の性質より

\begin{matrix} sin (180 ° - ∠ A) & = sin ∠ A cos (180 ° - ∠ A) & = - cos ∠ A \end{matrix}

$\begin{align*}\sin(180°-∠\text{A})&=\sin∠\text{A}\\[0.5em]\cos(180°-∠\text{A})&=-\cos∠\text{A}\end{align*}$

なので

\begin{matrix} a^{2} & = (c - b cos ∠ A)^{2} + (b sin ∠ A)^{2} = c^{2} - 2 b c cos ∠ A + b^{2} {cos}^{2} ∠ A + b^{2} {sin}^{2} ∠ A = c^{2} - 2 b c cos ∠ A + b^{2} {cos}^{2} ∠ A + b^{2} (1 - {cos}^{2} ∠ A) ∴ a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos ∠ A \end{matrix}

$\begin{align*}a^2&=(c-b\cos∠\text{A})^2+(b\sin∠\text{A})^2\\[0.5em]&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2\sin^2∠\text{A}\\[0.5em]&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2(1-\cos^2∠\text{A})\\[0.5em]\therefore a^2&=b^2+c^2-2bc\cos∠\text{A}\end{align*}$

となり、

$(1)$ が成り立つことがわかります。

このとき $∠\text{B},∠\text{C}$ は鋭角なので、鋭角三角形の場合と同様の手順により $(2),(3)$ を得ることができ、余弦定理が成り立つことがわかります。