余弦定理 なぜ成り立つ？

　余弦定理とは$\text{BC}=a,\text{AC}=b,\text{AB}=c$である$△\text{ABC}$について

$$\begin{align*}a^2&=b^2+c^2-bc\cos∠\text{A}\tag1\\[0.5em]b^2&=c^2+a^2-2ca\cos∠\text{B}\tag2\\[0.5em]c^2&=a^2+b^2-2ab\cos∠\text{C}\tag3\end{align*}$$

という関係があるという定理です。

なぜこのような式になるのでしょうか？

鋭角三角形の場合

　上図のような鋭角三角形$\text{ABC}$の場合を考えます。

$∠\text{A}$に着目するとき、頂点$\text{C}$から$\text{AB}$に対し垂線を引き、その足を$\text{H}$とします。

直角三角形$\text{ACH}$の三角比より

$$\begin{align*}\text{AH}&=b\cos∠\text{A}\\[0.5em]\text{CH}&=b\sin∠\text{A}\end{align*}$$

関連：三角関数の読み方　①三角比の読み方

となるので、直角三角形$\text{BCH}$において三平方の定理より

$$\begin{align*}\text{BC}^2&=\text{BH}^2+\text{CH}^2\\[0.5em]a^2&=(c-b\cos∠\text{A})^2+(b\sin∠\text{A})^2&(\because \text{BH}=c-b\cos∠\text{A})\\[0.5em]&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2\sin^2∠\text{A}\end{align*}$$

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

ここで、三角関数の相互関係より

$$\sin^2∠\text{A}=1-\cos^2∠\text{A}$$

関連：三角関数の相互関係

なので

$$\begin{align*}a^2&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2(1-\cos^2∠\text{A})\\[0.5em]\therefore a^2&=b^2+c^2-2bc\cos∠\text{A}\end{align*}$$

となり、余弦定理のうち$(1)$が成り立つことがわかります。

　$∠\text{B},∠\text{C}$に着目した場合も同様の手順により$(2),(3)$を得ることができ、余弦定理が成り立つことがわかります。

直角三角形の場合

　$∠\text{A}=90°$である直角三角形$\text{ABC}$の場合を考えます。

$(1)$について考えると$\cos90°=0$なので

$$\begin{align*}a^2&=b^2+c^2-2bc\cos90°\\[0.5em]\therefore a^2&=b^2+c^2\end{align*}$$

となり、三平方の定理そのものとなります。

　$∠\text{B},∠\text{C}$に着目した場合、鋭角三角形と同様に$(2),(3)$を得ることができ、余弦定理が成り立つことがわかります。

鈍角三角形の場合

　$∠\text{A}$が鈍角である鈍角三角形の場合を考えます。

鋭角三角形の場合と同様に$∠\text{A}$に着目し、頂点$\text{C}$から辺$\text{AB}$の延長に対し垂線を引き、その足を$\text{H}$とします。
直角三角形$\text{ACH}$において$∠\text{CAH}=180°-∠\text{A}$となります。

$∠\text{CAH}$に着目して三角比は

$$\begin{align*}\text{AH}&=b\cos∠\text{CAH}=b\cos(180°-∠\text{A})\\[0.5em]\text{CH}&=b\sin∠\text{CAH}=b\sin(180°-∠\text{A})\end{align*}$$

直角三角形$\text{BCH}$において三平方の定理より

$$\begin{align*}\text{BC}^2&=\text{BH}^2+\text{CH}^2\\[0.5em]a^2&=\{c+b\cos(180°-∠\text{A})\}^2+\{b\sin(180°-∠\text{A})\}^2\end{align*}$$

ここで、三角関数の性質より

$$\begin{align*}\sin(180°-∠\text{A})&=\sin∠\text{A}\\[0.5em]\cos(180°-∠\text{A})&=-\cos∠\text{A}\end{align*}$$

なので

$$\begin{align*}a^2&=(c-b\cos∠\text{A})^2+(b\sin∠\text{A})^2\\[0.5em]&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2\sin^2∠\text{A}\\[0.5em]&=c^2-2bc\cos∠\text{A}+b^2\cos^2∠\text{A}+b^2(1-\cos^2∠\text{A})\\[0.5em]\therefore a^2&=b^2+c^2-2bc\cos∠\text{A}\end{align*}$$

となり、$(1)$が成り立つことがわかります。

このとき$∠\text{B},∠\text{C}$は鋭角なので、鋭角三角形の場合と同様の手順により$(2),(3)$を得ることができ、余弦定理が成り立つことがわかります。

　以上から、内角によって3つに分類することができるすべての三角形について余弦定理が成り立つことがわかります。

関連：正弦定理　なぜ成り立つ？