円に内接する三角形の1辺の長さは？（三角形の3辺と面積、外接円の半径の関係）

「円$\text{O}$に内接する$△\text{ABC}$がある。
この三角形の2辺が$\text{AB}=4,\text{BC}=8$で面積が$16$、円$\text{O}$の半径が$7$のとき$\text{AC}$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　三角形の面積の公式と正弦定理を利用します。

上図の$△\text{ABC}$の面積$S$は

$$\begin{equation}S=\frac{1}{2}ac\sin∠\text{B}\end{equation}$$

で求めることができます。

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また、正弦定理より

$$\begin{align*}\frac{b}{\sin∠\text{B}}&=2R\\[0.5em]\sin∠\text{B}&=\frac{b}{2R}\end{align*}$$

これを$(1)$に代入して

$$\begin{align*}S&=\frac{1}{2}ac\cdot\frac{b}{2R}\\[0.5em]&=\frac{abc}{4R}\end{align*}$$

となります。

　問題の条件より$a=8,c=4,S=16,R=7$なので、これらを代入して$b$について解くと

$$\begin{align*}16&=\frac{8b\cdot4}{4\cdot7}\\[0.5em]&=\frac{8b}{7}\\[0.5em]2&=\frac{b}{7}\\[0.5em]b&=14\end{align*}$$

したがって、$\text{AC}=14$となります。

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