円に内接する三角形の1辺の長さは？（三角形の3辺と面積、外接円の半径の関係） ~ 数学について考えてみる

2022年11月15日

PLUMBAGO

「円

O

$\text{O}$ に内接する

△ ABC

$△\text{ABC}$ がある。
この三角形の2辺が

AB = 4, BC = 8

$\text{AB}=4,\text{BC}=8$ で面積が

16

$16$ 、円

O

$\text{O}$ の半径が

7

$7$ のとき

AC

$\text{AC}$ を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　三角形の面積の公式と正弦定理を利用します。

上図の

△ ABC

$△\text{ABC}$ の面積

S

$S$ は

\begin{matrix} S = \frac{1}{2} a c sin ∠ B \\ (1) \end{matrix}

$\begin{equation}S=\frac{1}{2}ac\sin∠\text{B}\end{equation}$

で求めることができます。

また、正弦定理より

\begin{matrix} \frac{b}{sin ∠ B} & = 2 R sin ∠ B & = \frac{b}{2 R} \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{b}{\sin∠\text{B}}&=2R\\[0.5em]\sin∠\text{B}&=\frac{b}{2R}\end{align*}$

これを

(1)

$(1)$ に代入して

\begin{matrix} S & = \frac{1}{2} a c \cdot \frac{b}{2 R} = \frac{a b c}{4 R} \end{matrix}

$\begin{align*}S&=\frac{1}{2}ac\cdot\frac{b}{2R}\\[0.5em]&=\frac{abc}{4R}\end{align*}$

となります。

　問題の条件より

a = 8, c = 4, S = 16, R = 7

$a=8,c=4,S=16,R=7$ なので、これらを代入して

b

$b$ について解くと

\begin{matrix} 16 & = \frac{8 b \cdot 4}{4 \cdot 7} = \frac{8 b}{7} 2 & = \frac{b}{7} b & = 14 \end{matrix}

$\begin{align*}16&=\frac{8b\cdot4}{4\cdot7}\\[0.5em]&=\frac{8b}{7}\\[0.5em]2&=\frac{b}{7}\\[0.5em]b&=14\end{align*}$

したがって、

AC = 14

$\text{AC}=14$ となります。

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