円に内接する三角形の1辺の長さは？（三角形の3辺と面積、外接円の半径の関係）

「円$O$に内接する$△ABC$がある。
この三角形の2辺が$AB=4,BC=8$で面積が$16$、円$O$の半径が$7$のとき$AC$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　三角形の面積の公式と正弦定理を利用します。

上図の$△ABC$の面積$S$は

\begin{equation}S=\frac{1}{2}ac\sin∠B\end{equation}

で求めることができます。

関連：なぜsinを使って三角形の面積を求めることができるのか？

また、正弦定理より

\begin{align*}\frac{b}{\sin∠B}&=2R\\[0.5em]\sin∠B&=\frac{b}{2R}\end{align*}

これを$(1)$に代入して

\begin{align*}S&=\frac{1}{2}ac\cdot\frac{b}{2R}\\[0.5em]&=\frac{abc}{4R}\end{align*}

となります。

　問題の条件より$a=8,c=4,S=16,R=7$なので、これらを代入して$b$について解くと

\begin{align*}16&=\frac{8b\cdot4}{4\cdot7}\\[0.5em]&=\frac{8b}{7}\\[0.5em]2&=\frac{b}{7}\\[0.5em]b&=14\end{align*}

したがって、$AC=14$となります。