これはつまり2数x,yにおいて
x^i=y
の関係があり、yが実数のときxは複素数の範囲で何になるか？ということです。
xを求めるにはまず、極形式で表します。
a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)より実数r(\geqq0),\thetaをもちいて
a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)より実数r(\geqq0),\thetaをもちいて
x=r(\cos\theta+i\sin\theta)
となります。また、オイラーの公式e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaより
x=re^{i\theta}
さらにr=e^{\log_e{r}}より
x=e^{\log_e{r}}\cdot e^{i\theta}=e^{\log_e{r}+i\theta}
となります。
したがって、x^iは
代入すると
例えばx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\dfrac{\pi}{3}}のとき
x^i=\left(e^{\log_e{r}+i\theta}\right)^i=e^{-\theta+i\log_e{r}}
となるため、x^iが実数となる条件は
\begin{align*}\log_e{r}&=0\\[0.5em]r&=1\\[0.5em]x&=e^{i\theta}\end{align*}
のときであるとわかります。代入すると
x^i=\left(e^{i\theta}\right)^i=e^{-\theta}
となります。例えばx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i=e^{i\dfrac{\pi}{3}}のとき
\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^i=e^{-\frac{\pi}{3}}≒0.35092
となります。
もう少し範囲を広げて指数が純虚数ki\ (k:実数)の場合を考えると、
x^{ki}=(x^i)^k
となることからx^iが実数であるときx^{ki}も実数となるため、i乗の時と同様x=e^{i\theta}が条件となります。
複素数乗の場合は？
今度は指数が複素数の場合を考えます。
x^{a+bi}=x^a\cdot x^{bi}\quad(a,b:実数)
となるので、x^{a+bi}が実数となるにはx^a,x^{bi}がともに実数、ともに純虚数、互いに共役複素数かその実数倍の3つの場合があります。
x^a,x^{bi}がともに実数
x^{bi}部分は上記と同様x=e^{i\theta}が条件となります。
x^a部分については
x^a=\left(e^{i\theta}\right)^a=e^{ia\theta}
となるため、e^{n\pi}=\pm1\ (n:整数)より
\begin{align*}a\theta&=n\pi\\[0.5em]\theta&=\frac{n\pi}{a}\end{align*}
を満たすことが条件となります。
以上から
x=e^{i\frac{n\pi}{a}}
となります。（ただし、a\neq0）
x^a,x^{bi}がともに純虚数
x=re^{i\theta}=e^{\log_e{r}+i\theta}の方で考えると
x^a部分は
x^a部分は
x^a=r^ae^{ia\theta}
となり、e^{i\dfrac{n\pi}{2}}=\pm i\ (n:整数)より
\begin{align*}a\theta&=\frac{n\pi}{2}\\[0.5em]\theta&=\frac{n\pi}{2a}\end{align*}
が条件となります。
x^{bi}部分は
\begin{align*}x^{bi}&=\left(e^{\log_e{r}+i\theta}\right)^{bi}\\[0.5em]&=e^{-b\theta+
ib\log_e{r}}\\[0.5em]&=e^{-b\theta}\cdot
e^{ib\log_e{r}}\end{align*}
e^{-b\theta}は実数なので、e^{ib\log_e{r}}が純虚数になるには
b\log_e{r}=\frac{n\pi}{2}
が条件となります。これをrについて解くと
\begin{align*}\log_e{r}&=\frac{n\pi}{2b}\\[0.5em]e^{\log_e{r}}&=e^{\frac{n\pi}{2b}}\\[0.5em]r&=e^{\frac{n\pi}{2b}}\end{align*}
となります。
以上から
\begin{align*}x&=e^{\frac{n\pi}{2b}}\cdot
e^{i\frac{n\pi}{2a}}\\[0.5em]&=e^{\frac{n\pi}{2b}+i\frac{n\pi}{2a}}\end{align*}
となります。（ただし、a,b\neq0）
x^a,x^{bi}が互いに共役複素数
上記より
\begin{cases}x^a=r^ae^{ia\theta}\\[1em]x^{ib}=e^{-b\theta}\cdot
e^{ib\log_e{r}}\end{cases}
また、e^{i\theta}の共役複素数はe^{-i\theta}なので、
a\theta=-b\log_e{r}
となります。
これを\thetaについて解くと
\theta=-\frac{b}{a}\log_e{r}+2n\pi\quad(※一般角)
となるから、x=e^{\log_e{r}+i\theta}の指数部分は
\begin{align*}&\log_e{r}+i\left(-\frac{b}{a}\log_e{r}+2n\pi\right)\\[0.5em]&=\log_e{r}\left(1-\frac{b}{a}i\right)+i2n\pi\end{align*}
すなわち、
\begin{align*}x&=e^{\log_e{r}\left(1-\frac{b}{a}i\right)+i2n\pi}\\[0.5em]&=e^{\log_e{r}\left(1-\frac{b}{a}i\right)}\cdot
e^{i2n\pi}\\[0.5em]&=r^{1-\frac{b}{a}i}\end{align*}
となります。（ただし、r\neq0）
よって、上の3つの場合よりx^{a+bi}が実数になるのは
e^{i\frac{n\pi}{a}},e^{\frac{n\pi}{2b}+i\frac{n\pi}{2a}},r^{1-\frac{b}{a}i}
のときであることがわかります。（ただし、a,b,r\neq0）
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