横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2022年11月9日

2円の異なる2つの交点を通る直線と2つの中心を通る直線の関係

2円の2つの交点を通る直線は中心を通る直線に対し垂直

 2つの円の異なる2つの交点を通る直線は、2つの円の中心を通る直線に対し垂直になります。

なぜこのようなことが言えるのでしょうか?

 2つの円O1, O2が異なる2つの点A, Bで交わっているとき、AO1O2,BO1O2について考えます。
2円の中心と交点でできる三角形は合同
O1A, O1Bは円O1の半径であるためO1A=O1Bです。…(1)
同様にO2A, O2Bは円O2の半径であるためO2A=O2Bです。
O1O2は共通な辺です。
3辺がそれぞれ等しいのでAO1O2,BO1O2は合同であることがわかります。
このことからAO1O2=BO1O2です。…(2)

A, Bから直線O1O2に垂線を下ろし、その足をそれぞれ点C, C'とします。CC'に分けるのは直線ABが直線O1O2に対し垂直でないと仮定するためです。

垂線が同一直線であることを証明

AO1C,BO1C'について考えるとACO1O2,AC'O1O2より、2つの三角形は直角三角形です。
(1)、(2)より、直角三角形の斜辺と鋭角の1つがそれぞれ等しいのでAO1C,BO1C'は合同であることがわかります。
このことからO1C=O1C'です。

AO2C,BO2C'も同様に合同であることを示せるので、O2C=O2C'であることがわかります。

これはつまり、2点C, C'は直線O1O2上のO1, O2それぞれからの距離が等しい点であるということなのでC, C'は同一の点であることがわかります。
したがって、A, C, Bは同一直線AB上にあり、直線ABは直線O1O2に対し垂直であることがわかります。


 また、2円が外接・内接しているときも共通接線は2円の中心を通る直線に対して垂直になります。

2円の共通接線は中心を通る直線に対し垂直

これは以下のように確かめられます。

O1において点Pにおける接線lは半径O1Pに対し垂直です。
O2において点Qにおける接線mは半径O2Qに対し垂直です。

PQ、直線lmが重なるように2円を移動させると直線l (m)O1PO2P (O2Q)に対して垂直となります。このときO1PO20°または180°なので3点O1, O2, Pは同一直線上にあります。

よって、2円O1, O2が点Pで外接または内接しているとき、共通接線mは直線O1O2に対し垂直となることがわかります。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

Blog Archive

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ