2つの円の異なる2つの交点を通る直線は、2つの円の中心を通る直線に対し垂直になります。
2つの円が異なる2つの点で交わっているとき、について考えます。
同様には円の半径であるためです。
は共通な辺です。
3辺がそれぞれ等しいのでは合同であることがわかります。
このことからです。…(2)
点から直線に垂線を下ろし、その足をそれぞれ点とします。とに分けるのは直線が直線に対し垂直でないと仮定するためです。
について考えるとより、2つの三角形は直角三角形です。
(1)、(2)より、直角三角形の斜辺と鋭角の1つがそれぞれ等しいのでは合同であることがわかります。
このことからです。
も同様に合同であることを示せるので、であることがわかります。
これはつまり、2点は直線上のそれぞれからの距離が等しい点であるということなのでは同一の点であることがわかります。
したがって、は同一直線上にあり、直線は直線に対し垂直であることがわかります。
また、2円が外接・内接しているときも共通接線は2円の中心を通る直線に対して垂直になります。
これは以下のように確かめられます。
円において点における接線は半径に対し垂直です。
円において点における接線は半径に対し垂直です。
点と、直線とが重なるように2円を移動させると直線はとに対して垂直となります。このときはまたはなので3点は同一直線上にあります。
よって、2円が点で外接または内接しているとき、共通接線は直線に対し垂直となることがわかります。
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