正方形に外接する円と半円の面積の関係を調べる

　同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか？

1辺の長さが$a$の正方形$ABCD$を考え、外接円の面積を$S_1$、外接する半円の面積を$S_2$として関係を調べます。

正方形の外接円の面積

　正方形$ABCD$の外接円は上図のようになります。

外接円の中心を$O$とすると、これは正方形$ABCD$の対角線の中点でもあります。
すると外接円$O$の半径の長さは正方形$ABCD$の対角線の長さの$\dfrac{1}{2}$に等しく、対角線の長さは$\sqrt{2}a$であることから正方形$ABCD$の外接円の半径の長さは$\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$であることがわかります。

したがって、1辺の長さが$a$の正方形$ABCD$の外接円$O$の面積$S_1$は

\begin{align*}S_1&=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\pi\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\pi a^2\end{align*}

と求められます。

正方形に外接する半円の面積

　正方形$ABCD$に外接する半円は上図のようになります。

この半円の中心を$P$、直径の両端をそれぞれ$Q,R$とすると、点$P$は正方形$ABCD$の辺$BC$の中点でもあるので$BP=CP=\dfrac{a}{2}$となります。
線分$AP$を引くと直角三角形$ABP$ができ、斜辺$AP$は半円$QR$の半径でもあります。
すると三平方の定理より

\begin{align*}AP^2&=AB^2+BP^2\\[0.5em]&=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{5}{4}a^2\end{align*}

となり、$AP^2$は半円$QR$の半径の2乗なので両辺に$\dfrac{\pi}{2}$を掛ければ半円$QR$の面積となります。

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

したがって、半円$QR$の面積$S_2$は

\begin{align*}S_2&=AP^2\cdot\frac{\pi}{2}\\[0.5em]&=\frac{5}{4}a^2\cdot\frac{\pi}{2}\\[0.5em]&=\frac{5}{8}\pi a^2\end{align*}

と求められます。

　以上より、正方形$ABCD$の外接円$O$と外接する半円$QR$の面積比は

\begin{align*}S_1:S_2&=\frac{1}{2}\pi a^2:\frac{5}{8}\pi a^2\\[0.5em]&=\frac{1}{2}:\frac{5}{8}\\[0.5em]&=4:5\end{align*}

となります。

このことから正方形の外接円の面積の$\dfrac{5}{4}$倍が同じ正方形に外接する半円の面積であることがわかります。