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2024年3月14日

正方形に外接する円と半円の面積の関係を調べる

 同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか?


1辺の長さがaの正方形ABCDを考え、外接円の面積をS1、外接する半円の面積をS2として関係を調べます。

正方形の外接円の面積

正方形とその外接円
 正方形ABCDの外接円は上図のようになります。
外接円の中心をOとすると、これは正方形ABCDの対角線の中点でもあります。
すると外接円Oの半径の長さは正方形ABCDの対角線の長さの12に等しく、対角線の長さは2aであることから正方形ABCDの外接円の半径の長さは22aであることがわかります。
したがって、1辺の長さがaの正方形ABCDの外接円Oの面積S1
S1=(22a)2π=12πa2
と求められます。

正方形に外接する半円の面積

正方形とそれに外接する半円
 正方形ABCDに外接する半円は上図のようになります。
この半円の中心をP、直径の両端をそれぞれQ, Rとすると、点Pは正方形ABCDの辺BCの中点でもあるのでBP=CP=a2となります。
線分APを引くと直角三角形ABPができ、斜辺APは半円QRの半径でもあります。
すると三平方の定理より
AP2=AB2+BP2=a2+(a2)2=54a2
となり、AP2は半円QRの半径の2乗なので両辺にπ2を掛ければ半円QRの面積となります。
したがって、半円QRの面積S2
S2=AP2π2=54a2π2=58πa2
と求められます。

 以上より、正方形ABCDの外接円Oと外接する半円QRの面積比は
S1:S2=12πa2:58πa2=12:58=4:5
となります。

このことから正方形の外接円の面積の54倍が同じ正方形に外接する半円の面積であることがわかります。


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