同じ正方形に外接する円と半円の面積にはどのような関係があるでしょうか?
1辺の長さがの正方形を考え、外接円の面積を、外接する半円の面積をとして関係を調べます。
正方形の外接円の面積
外接円の中心をとすると、これは正方形の対角線の中点でもあります。
すると外接円の半径の長さは正方形の対角線の長さのに等しく、対角線の長さはであることから正方形の外接円の半径の長さはであることがわかります。
すると外接円の半径の長さは正方形の対角線の長さのに等しく、対角線の長さはであることから正方形の外接円の半径の長さはであることがわかります。
したがって、1辺の長さがの正方形の外接円の面積は
と求められます。
正方形に外接する半円の面積
この半円の中心を、直径の両端をそれぞれとすると、点は正方形の辺の中点でもあるのでとなります。
線分を引くと直角三角形ができ、斜辺は半円の半径でもあります。
すると三平方の定理より
となり、は半円の半径の2乗なので両辺にを掛ければ半円の面積となります。
線分を引くと直角三角形ができ、斜辺は半円の半径でもあります。
すると三平方の定理より
したがって、半円の面積は
と求められます。
以上より、正方形の外接円と外接する半円の面積比は
となります。
このことから正方形の外接円の面積の倍が同じ正方形に外接する半円の面積であることがわかります。
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