.png)
すると、長方形$ABCD$の面積は$60$なので
\begin{equation}ab=60\end{equation}
と式を立てることができます。
.png)
また、このときできる$△ABC$は$∠ABC$が直角の直角三角形なので、三平方の定理より
\begin{align*}AB^2+BC^2&=AC^2\\[0.5em]a^2+b^2&=13^2=169\tag2\end{align*}
が成り立ちます。
$(1),(2)$を連立してこれらを満たす$a,b$を求めます。
$(a+b)^2$について考えると
\begin{align*}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\[0.5em]&=(a^2+b^2)+2\cdot
ab\\[0.5em]&=169+2\cdot60&(\because
(1),(2))\\[0.5em]&=289\end{align*}
となります。
両辺の平方根をとると$289=17^2$であること、$a>0,b>0$より$a+b>0$であることより
\[a+b=17\tag3\]
であることがわかります。
$(3)$を変形すると$b=17-a$となるので、これを$(1)$に代入すると
\begin{align*}a(17-a)&=60\\[0.5em]17a-a^2&=60\\[0.5em]a^2-17a+60=0\\[0.5em]a^2-(5+12)a+5\cdot12&=0\\[0.5em](a-5)(a-12)&=0\\[0.5em]a=5,12\end{align*}
と2次方程式より$a$の値が求まります。
もちろん、解の公式をもちいて
\begin{align*}a&=\frac{-(-17)\pm\sqrt{(-17)^2-4\cdot60}}{2}\\[0.5em]&=\frac{17\pm\sqrt{49}}{2}\\[0.5em]&=\frac{17\pm7}{2}\\[0.5em]&=5,12\end{align*}
と求めることもできます。
それぞれの場合における$b$の値を求め、どちらが長辺となるのかを調べます。
$a=5$のとき
$b=17-a$より$b=12$なので、長辺の長さは$12$であることがわかります。
$a=12$のとき
$b=17-a$より$b=5$なので、長辺の長さは$12$であることがわかります。
以上より、どちらも場合でも長方形の長辺の長さは$12$であることがわかります。
Share:
