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2021年9月29日

指数が未知数の方程式 指数方程式

次の方程式を解け。

\[\Large 3^{x+2}-3^{2x+1}=6\]
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2021年9月27日

相加平均と相乗平均 なぜa=bなのか どっちが最大値?最小値?

 相加平均と相乗平均の関係は、
$a>0,b>0$のとき
\begin{equation}\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}\end{equation}
が成立し、等号は$a=b$のとき成立します。
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2021年9月26日

数の「位」とは

 数を表すのに使われる数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類があります。それぞれの数字には決まった大きさがあります。
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多項定理を使わずに二項定理で解いてみる

「$(a+2b+3c)^5$の展開式における$a^3 bc$の係数を求めよ。」

[03 帝塚山大]
 この問題は多項定理を使って解くのですが、二項定理で解いてみます。
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2021年9月25日

数の大小比較(平方根の計算・二重根号)

 \[2\left(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}\right)\qquad\fbox{ ? }\qquad 2\]
「上の$\fbox{ ? }$に当てはまるものを以下の選択肢から選べ。
ア. >        イ. =        ウ. <
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時計の針と角度

時計 3時10分

 時計の目盛りは1から12までの数字が振ってある大きな目盛りは12個、大きな目盛りと大きな目盛りの間には小さな目盛りが4個あります。それぞれ1目盛り何度あるでしょうか?

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2021年9月22日

2進数を16進数に変換するときなぜ4桁ごとに区切るのか?

 2進数を16進数に変換する時、右から4桁ごとに区切って16進数に置き換えます。
なぜ4桁ごとに区切ると16進数に置き換えることができるのでしょうか?
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2021年9月20日

立方根の方程式

次の方程式を解け。

\[\sqrt[3]{3x+2}-\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{x+2}\]
このような問題はどのように解けばよいでしょうか?
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10進数の小数を2進数の小数に変換するには

 10進数の数を位ごとに分解すると、
\[1234=1× 10^3+2× 10^2+3× 10^1+4× 10^0\]
のように10の累乗の和で表すことができます。これは2進数においても同じです。
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2021年9月18日

床と2つの円に囲まれた正方形

床と2つの円に囲まれた正方形
図1 床と2つの円に囲まれた正方形

「床の上に半径が1の2つの円が接するように置かれている。この2つの円に接するように正方形が床の上に置かれているとき正方形の1辺の長さはいくつになるか?」

 このような問題はどのように解けばよいでしょうか?
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2021年9月16日

2次式の因数分解と平方完成の違い

 例として$x^2-6xy+5y^2$という多項式について考えます。

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2021年9月15日

円に内接する四角形の対角の和はなぜ180°なのか?

円に内接する四角形の対角の和は180°
 円に内接する四角形の対角の和は、$180°$となります。上図の場合、$∠BAD$と$∠BCD$の和、$∠ABC$と$∠ADC$の和が$180°$になります。

なぜそうなるのかは円周角の定理を利用することでいくつかの方法で確かめることができます。

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接線と弦のつくる角(接弦定理)

接線と弦の作る角(接弦定理)
 円周上の点$A$を通る接線を引き、接線と弦$AC$のつくる角の内部に弧$AC$に対する円周角$∠ABC$が入らないように接線上に点$T$をとると
\[∠CAT=∠ABC\]
という関係が成り立ちます。この関係は接弦定理と呼ばれます。

本当に接弦定理は成り立つのでしょうか?確かめてみます。

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10進数を2進数に変換する

10進数

 10進数の数として例えば$(1234)_{10}$について考えてみます。
これをを繰り返し10で割ってみます。
10進数-10進数変換
10で割ったあと余りを出し、商をさらに10で割ります。この計算をしやすいように割り算の筆算を逆さまにしたような書き方で行います。
商が0になるまで割り続け、余りの数を下から並べ直すと元の$1234$という数が出てきます。

 10で1回割ると10より小さい$4$が余りとして出てきます。

\[1234=10× 123+4\]
これを式で表すと上のようになります。10に掛けている数が商となります。

商の$123$を10で割ると次は余りとして$3$が出てきます。

\begin{align*}1234&=10(10× 12+3)+4\\ &=100× 12+10× 3+4\end{align*}
$123$を$10× 12+3$とすることで商の$12$と余りの$3$に分解しています。
これを繰り返していきます。
\begin{align*}1234&=100(10× 1+2)+10× 3+4\\ &=1000× 1+100× 2+10× 3+4\end{align*}
これで、$(1234)_{10}$を位ごとに分解することができました。これが筆算で行っていることです。
 位を10で表すと10の累乗となり、
\[1234=10^3× 1+10^2× 2+10^1× 3+10^0× 4\]
と書けます。このことからも10で繰り返し割ることで位の数ごとに分解することができることがわかると思います。

2進数

 上で行った筆算を2進数でもやってみます。割る数は2進数なので$2$です。
10進数-2進数変換
余りを下から並べると$(10011010010)_2$となり、これが$(1234)_{10}$を2進数変換した数となります。
10進数のときのように2の累乗を使った式をつくると、
\begin{align*}1234&=2^{10}× 1+2^9× 0+2^8× 1+2^7× 1\\ &\quad+2^6× 1+2^5× 0+2^4× 1+2^3× 0\\ &\qquad+2^2× 0+2^1× 1+2^0× 0\\ &=2^{10}× 1+2^7× 1+2^6× 1+2^4× 1+2^1× 1\end{align*}
となるため2進数の数の一番下の桁から一の位、二($2^1$)の位、四($2^2$)の位、八($2^3$)の位……となっていることがわかります。
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2021年9月13日

直線の方程式と平行移動 一般形の+cの行方

 例えば、$y=-2x$を$y=-2x+5$に平行移動するとき、いくつかの方法があります。
直線の平行移動
上のグラフの$y=-2x$上の原点$(0, 0)$を、$y=-2x+5$上の点へ平行移動する場合、
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2021年9月11日

2次関数の頂点と1次関数との交点でできる三角形の面積

 「2次関数$y=x^2-4x+1$と1次関数$y=-x+5$の交点2点をx座標の小さい方から$A,B$とし、2次関数の頂点を$P$とする。このとき、$△ABP$の面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?
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2021年9月10日

順列はなぜ階乗の分数になるのか?

 順列の式は以下のようになります。
\[_nP_k=\frac{n!}{(n-k)!}\qquad(n:自然数,k:0\leqq k\leqq nの整数)\]
なぜ、順列は階乗の分数で表せるのでしょうか?
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2021年9月8日

2次関数のグラフを描く

「関数$y=x^2+2x$のグラフをかけ。」

[03 拓殖大]
 このような問題をどのように解けばよいでしょうか?
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2021年9月7日

三角形の内角で見る合同条件・相似条件

 三角形の合同、あるいは相似を調べるには、角と辺の関係に着目します。
この記事では、特に三角形の角に着目して、合同条件・相似条件にはどのようなものがあるかを見ていきます。
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2021年9月5日

なぜsinを使って三角形の面積が求められるのか?

図1 三角形ABC

 三角比を利用して図1のような三角形$ABC$の面積は
\begin{equation}△ABC=\frac{1}{2}AB× AC\sinθ\end{equation}
で求めることができます。

なぜこの式で三角形の面積を求めることができるのでしょうか?
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aベクトル-bベクトルはなぜこの向きなのか?

ベクトルの差
 $\vec{a}-\vec{b}$は$\vec{a}$の終点から$\vec{b}$の終点を指す矢印で表されます。なぜこの向きなのでしょうか?

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2021年9月4日

直交する直線に接する2つの円とその半径

直交する直線を接線とする2つの円
図1 直交する直線と2つの円

「直交する2本の直線を接線とする円が2つあり、円どうしは交わらず接している。小さい方の円の半径が1であるとき、大きい方の円の半径$x$を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?

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2021年9月3日

半径が同じ円が2個入った正方形の1辺の長さは?

円が2個入った正方形
図1 円が2個入った正方形

「半径が同じ2つの円が接している図形が正方形に内接している。円の半径が2のとき、正方形の1辺の長さはいくつになるか?」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?
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2021年9月2日

1つの辺の長さがわかれば面積が求められる特殊な三角形

 通常、三角形の面積は
(底辺)×(高さ)÷2
で表されるように、底辺と高さという2つの長さがわからないと求められません。

しかし、三角形の中には1辺の長さが分かれば面積が求められるものが存在します。
それはどんな三角形なのか3つの例を見ていきます。

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2021年9月1日

入れ子状態の分数はどうやって簡単にする?

入れ子状態の分数
 上のような分数は最も簡単な形にすると、どんな分数になるでしょうか?
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