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最初の集合$A, B$の定義は言い換えると、
- 集合$A$は$a$と共通の$1$以外の自然数で割り切れる$k$を要素にもつ集合
- 集合$B$は$b$と共通の$1$以外の自然数で割り切れる$k$を要素にもつ集合
また別の言い方をすれば
- 集合$A$は$a$と互いに素でない$k$を要素にもつ集合
- 集合$B$は$b$と互いに素でない$k$を要素にもつ集合
(1)
$a=3$のときの集合$A$の要素
$a$自身を割り切ることができる$1$以外の自然数は$3$以外にないので、集合$A$の要素は$3$で割り切れるという共通点をもつもの、すなわち3の倍数に限られます。
したがって、
\[\large\mathbf{A=\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}}\]
となります。
$b=4$のときの集合$B$の要素
$b$自身を割り切ることができる$1$以外の自然数は$2$と$4$の2つなので、$2$か$4$で割り切れるという共通点をもつものを探すことになります。
しかし、$4$で割り切れるならば必ず$2$でも割り切れるので、$2$で割り切れるもののみ、すなわち偶数を探すだけでよいことがわかります。
しかし、$4$で割り切れるならば必ず$2$でも割り切れるので、$2$で割り切れるもののみ、すなわち偶数を探すだけでよいことがわかります。
したがって、
\[\large\mathbf{B=\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}}\]
となります。
$A\cap B$と$A\cap\bar{B}$
このときの$A\cap
B$、すなわち$A$と$B$の共通する要素のみの集合は、3の倍数かつ偶数であるもの、すなわち6の倍数を要素にもちます。
したがって、
\[\large\mathbf{A\cap B=\{6, 12 ,18\}}\]
となります。
また、$A\cap\bar{B}$、すなわち$A$と$B$以外で共通する要素のみの集合は、3の倍数かつ奇数を要素にもちます。
したがって、
\[\large\mathbf{A\cap\bar{B}=\{3, 9, 15\}}\]
となります。
(2)
$\text{(i)}$
$A$の要素であるための条件の否定が$\bar{A}$の要素であるための条件であり、逆も然りであることを考えると、$A$の要素であるための条件は「2の倍数または3の倍数である」、言い換えれば「$2$または$3$で割り切れる」となります。
このような条件となるためには、$a$は$2$と$3$で割り切れる数、すなわち$6$の倍数である必要があります。
このような条件となるためには、$a$は$2$と$3$で割り切れる数、すなわち$6$の倍数である必要があります。
$a$が$2$以上$9$以下の自然数であることから、上記を満たすのは
\[\large\mathbf{a=6}\]
だけであることがわかります。
ちなみに、$\bar{A}$を書き出すと
\[\bar{A}=\{5, 7, 11, 13, 17, 19\}\]
となり、$A$は$\bar{A}$の要素を含まないので
\[A=\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}\]
となることから、$A$の要素であるための条件「$2$または$3$で割り切れる」を導き出すこともできます。
$\text{(ii)}$
$A$と$\bar{B}$で共通する要素が$5$だけということなので、少なくとも$A$の要素は5の倍数であることがわかります。
$A$の要素が5の倍数ということは、$a$は$5$で割り切れるということであり、$a$が$2$以上$9$以下の自然数であることから、これを満たすのは
$A$の要素が5の倍数ということは、$a$は$5$で割り切れるということであり、$a$が$2$以上$9$以下の自然数であることから、これを満たすのは
\[\large\mathbf{a=5}\]
だけであることがわかります。
このとき、
しかし、実際には$10, 15, 20$を含んでいないので、これらは$B$の要素であることがわかります。
\[A=\{5, 10, 15, 20\}\]
なので、もし$\bar{B}$が5の倍数をすべて含んでいるなら
\[A\cap\bar{B}=\{5, 10, 15, 20\}\]
となるはずです。しかし、実際には$10, 15, 20$を含んでいないので、これらは$B$の要素であることがわかります。
これらは$5$以外に、$10$は$2$で、$15$は$3$で、$20$は$2$と$4$で割り切れます。
すると、$10, 15, 20$が$B$の要素となるためには、$b$は最低でも$2$と$3$で割り切ることのできる数、すなわち6の倍数である必要があります。
すると、$10, 15, 20$が$B$の要素となるためには、$b$は最低でも$2$と$3$で割り切ることのできる数、すなわち6の倍数である必要があります。
$b$は$2$以上$9$以下の自然数であることから、この条件を満たすのは
\[\large\mathbf{b=6}\]
だけであることがわかります。
