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外部サイト：2025年度大学入学共通テスト 問題・解答速報（2日目）：朝日新聞デジタル
$\text{(i)}$
$△\text{PAB}$と$△\text{PED}$に着目すると、
相似比は$\text{AB}:\text{ED}=3:9=\mathbf{1:3}$です。
- 円に内接する四角形の性質より、1つの内角とその対角の外角の大きさは等しいので$∠\text{PAB}=∠\text{PED}$
-
方べきの定理より
\begin{align*}\text{PA}\ \cdot \text{PD}&=\text{PB}\cdot \text{PE}\\[0.5em]\frac{\text{PA}}{\text{PE}}&=\frac{\text{PB}}{\text{PD}}\\[0.5em]\therefore \text{PA}:\text{PE}&=\text{PB}:\text{PD}\end{align*}
相似比は$\text{AB}:\text{ED}=3:9=\mathbf{1:3}$です。
このことから、
\begin{align*}\text{PA}\ :\text{PE}&=1:3\\[0.5em]3\text{PA}&=\text{PE}\\[0.5em]&=\text{PB}+\text{BE}\\[0.5em]\therefore
3\text{PA}&=\text{PB}+11\tag{$\alpha$}\\[1em]\text{PB}\ :\text{PD}&=1:3\\[0.5em]3\text{PB}&=\text{PD}\\[0.5em]&=\text{PA}+\text{AD}\\[0.5em]\therefore
3\text{PB}&=\text{PA}+7\tag{$\beta$}\end{align*}
が成り立つことがわかります。
$(α),(β)$を連立すると、
$(α)+(β)×3$より
$(α)+(β)×3$より
\begin{align*}3\text{PA}+9\text{PB}&=(\text{PB}+11)+(3\text{PA}+21)\\[0.5em]&=3\text{PA}+\text{PB}+32\\[0.5em]8\text{PB}&=32\\[0.5em]\therefore
\text{PB}&=4\end{align*}
となり、これを$(α)$に代入すると
\begin{align*}3\text{PA}&=4+11\\[0.5em]&=15\\[0.5em]\therefore
\text{PA}&=5\end{align*}
となるので、$\mathbf{\text{PA}=5,\text{PB}=4}$であることがわかります。
$\text{(ii)}$
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方べきの定理より
また、$\text{(i)}$と同様にして$△\text{PBC}$と$△\text{PFE}$が相似であり、相似比は$\text{PC}:\text{PE}＝3:15=1:5$であることがわかります。
\begin{align*}\text{PC}\ \cdot \text{PF}&=\text{PB}\cdot
\text{PE}\\[0.5em]\text{PC}\cdot(\text{PC}+\text{CF})&=\text{PB}\cdot(\text{PB}+\text{BE})\\[0.5em]\text{PC}\cdot(\text{PC}+17)&=4\cdot(4+11)\\[0.5em]\text{PC}^2+17\text{PC}&=60\\[0.5em]\text{PC}^2+17\text{PC}-60&=0\\[0.5em](\text{PC}+20)(\text{PC}-3)&=0\\[0.5em]\therefore\mathbf{\text{PC}}&\mathbf{=3}&(\because
\text{PC}>0)\end{align*}
であることがわかります。また、$\text{(i)}$と同様にして$△\text{PBC}$と$△\text{PFE}$が相似であり、相似比は$\text{PC}:\text{PE}＝3:15=1:5$であることがわかります。
したがって、
\begin{align*}\text{BC}\ :\text{EF}&=1:5\\[0.5em]3:\text{EF}&=1:5\\[0.5em]\text{EF}&=3\cdot5\\[0.5em]\therefore
\text{EF}&=15\end{align*}
と求められます。
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\begin{align*}\text{PA}\ :\text{PF}&=\text{PA}:(\text{PC}+\text{CF})\\[0.5em]&=5:(3+17)\\[0.5em]&=5:20\\[0.5em]&=1:4\end{align*}
であることがわかります。
したがって、
\begin{align*}\text{AC}\ :\text{FD}&=1:4\\[0.5em]3:\text{FD}&=1:4\\[0.5em]\text{FD}&=3\cdot4\\[0.5em]\therefore
\text{FD}&=12\end{align*}
と求められます。
以上より、$\mathbf{\text{EF}=15,\text{DF}=12}$です。
$\text{(iii)}$
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面$\text{DEF}$に着目すると、3辺の比が$\text{DE}:\text{FD}:\text{EF}=9:12:15=3:4:5$となっています。
これは直角三角形となる3辺の比であり、最長である辺$\text{EF}$が斜辺、すなわち$∠\text{EDF}=90°$である直角三角形であることがわかります。
これは直角三角形となる3辺の比であり、最長である辺$\text{EF}$が斜辺、すなわち$∠\text{EDF}=90°$である直角三角形であることがわかります。
同様に面$\text{PDE}$も$\text{DE}:\text{PD}:\text{PE}=9:12:15=3:4:5$なので、$∠\text{PDE}=90°$である直角三角形です。なお、$∠\text{PDE}=∠\text{ADE}$です。
ところで、直線$\text{AD, DF}$は平面$\text{ACFD}$上にあります。
したがって、直線$\text{AD, DF}$はそれぞれ直線$\text{DE}$に垂直なので、直線$\text{DE}$は平面$\text{ACFD}$に垂直であることがわかります。
したがって、直線$\text{AD, DF}$はそれぞれ直線$\text{DE}$に垂直なので、直線$\text{DE}$は平面$\text{ACFD}$に垂直であることがわかります。
また、このことから直線$\text{DE}$は平面$\text{ACFD}$上のどの直線とも垂直であるので、平面$\text{ACFD}$上の直線$\text{AC}$と直線$\text{DE}$は垂直であることがわかります。
面$\text{PDF}$に着目すると、$\text{PD}=\text{DF}$である二等辺三角形であることがわかります。
もし、$∠\text{PDF}$が直角ならば直角二等辺三角形となり、$\dfrac{\text{PF}}{\text{PD}}=\sqrt{2}$となるはずですが、実際は$\dfrac{\text{PF}}{\text{PD}}=\dfrac{20}{12}=$$\dfrac{5}{3}>\sqrt{2}$です。
すなわち、$\text{PF}$は$\text{PD}$の$\sqrt{2}$倍より長いので$∠\text{PDF}$は鈍角であるということがわかります。なお、$∠\text{PDF}=∠\text{ADF}$です。
もし、$∠\text{PDF}$が直角ならば直角二等辺三角形となり、$\dfrac{\text{PF}}{\text{PD}}=\sqrt{2}$となるはずですが、実際は$\dfrac{\text{PF}}{\text{PD}}=\dfrac{20}{12}=$$\dfrac{5}{3}>\sqrt{2}$です。
すなわち、$\text{PF}$は$\text{PD}$の$\sqrt{2}$倍より長いので$∠\text{PDF}$は鈍角であるということがわかります。なお、$∠\text{PDF}=∠\text{ADF}$です。
以下のような方法でも知ることができます。
余弦定理より
\[\cos\angle
\text{PDF}=\frac{\text{PD}^2+\text{DF}^2-\text{PF}^2}{2\text{PD}\cdot
\text{DF}}\]
が成り立つので、$\cos∠\text{PDF}$の値を調べてみると
\begin{align*}\cos\angle
\text{PDF}&=\frac{12^2+12^2-20^2}{2\cdot12\cdot12}\\[0.5em]&=\frac{4^2(3^2+3^2-5^2)}{4^2(2\cdot3\cdot3)}\\[0.5em]&=\frac{3^2+3^2-5^2}{2\cdot3\cdot3}\\[0.5em]&=-\frac{7}{18}\end{align*}
と負の値となるので、$0°<∠\text{PDF}<180°$より$∠\text{PDF}$は鈍角であることがわかります。
ところで、直線$\text{DE}$は平面$\text{ABED}$と平面$\text{DEF}$の交線であり、直線$\text{AD}$は平面$\text{ABED}$上、直線$\text{DF}$は平面$\text{DEF}$上にあります。
上で直線$\text{AD, DF}$はそれぞれ直線$\text{DE}$に垂直であることがわかったので、直線$\text{AD}$と$\text{DF}$のなす角$∠\text{ADF}$は平面$\text{ABED}$と平面$\text{DEF}$のなす角（二面角）となります。
上で直線$\text{AD, DF}$はそれぞれ直線$\text{DE}$に垂直であることがわかったので、直線$\text{AD}$と$\text{DF}$のなす角$∠\text{ADF}$は平面$\text{ABED}$と平面$\text{DEF}$のなす角（二面角）となります。
したがって、$∠\text{ADF}$は鈍角なので平面$\text{ABED}$と平面$\text{DEF}$は垂直でないことがわかります。
以上より、
「$\text{(a)}$：平面$\text{ABED}$と平面$\text{DEF}$は垂直である。」は偽、
「$\text{(b)}$：直線$\text{DE}$は平面$\text{DEF}$に垂直である。」は真、
「$\text{(c)}$：直線$\text{AC}$と直線$\text{DE}$は垂直である。」は真
となります。
「$\text{(b)}$：直線$\text{DE}$は平面$\text{DEF}$に垂直である。」は真、
「$\text{(c)}$：直線$\text{AC}$と直線$\text{DE}$は垂直である。」は真
