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外部サイト：2025年度大学入学共通テスト 問題・解答速報（2日目）：朝日新聞デジタル
この問題においての方程式①とは、b=2のとき、すなわち①にb=2を代入した
(2a+6)x2+(5a+11)x−10=0
のこととなります。
(i)
2(a+3)x2+(5a+11)x+(−2)⋅5=0
①の左辺を上のように変形します。
(2x+5){(a+3)x−2}=0
と左辺を因数分解できることがわかります。
(ii)
(A)にa=2√2を代入すると
(2x+5){(2√2+3)x−2}=0
となるので、この方程式を満たす条件は2x+5=0,(2√2+3)x−2=0です。
それぞれの場合で方程式を満たすxを求めます。
2x+5=0のとき
2x=−5x=−52
(2√2+3)x−2=0のとき
(2√2+3)x=2x=22√2+3=23+2√2=23+2√2⋅3−2√23−2√2=2(3−2√2)9−8=6−4√2
以上より、a=2√2のときの①の解は
x=−52,6−4√2
であることがわかります。
(iii)
2つの命題
について調べます。
「a=−3であるならば①の解はx=−52だけである」
「①の解がx=−52だけであるならばa=−3である」
前者の命題について、(A)にa=−3を代入すると1次方程式2x−5=0となり、解としてx=−52のみが得られるので真であることがわかります。
したがって、「a=−3である」ことは「①の解がx=−52だけである」ための十分条件です。
したがって、「a=−3である」ことは「①の解がx=−52だけである」ための十分条件です。
後者の命題について、①のxの最高次数が2であることより「①の解がx=−52だけである」場合には2通りが考えられます。
場合1：①がxの1次方程式となり、その解がx=−52である
場合2：①がxの2次方程式となり、その解が重解x=−52である
どちらの場合においても満たす条件としてa=−3が得られたとき、命題が真であるとわかります。それぞれの場合について(A)を利用して調べます。
場合1
(A)に着目すると、因数(a+3)x−2がxを含まない定数となればxの1次方程式となります。
また、その解はもう1つの因数2x+5より解x=−52が導かれることが(ii)よりわかります。
また、その解はもう1つの因数2x+5より解x=−52が導かれることが(ii)よりわかります。
因数(a+3)x−2が定数となるにはxの係数が0となればよいので、a+3=0よりa=−3です。
したがって、場合1を満たす条件はa=−3です。
場合2
(A)に着目すると、2次方程式として重解x=−52をもつためには(a+3)x−2=0よりx=−52が得られれば良いことがわかります。
(a+3)x−2=0にx=−52を代入すると
(a+3)x−2=0にx=−52を代入すると
(a+3)⋅(−52)−2=0−52a−152−2=0−52a=192a=−195
したがって、場合2を満たす条件はa=−195です。
以上より、場合1と場合2をともに満たす条件はa=−3ではないので、後者の命題は偽であることがわかります。
したがって、「a=−3である」ことは「①の解がx=−52だけである」ための必要条件ではありません。
したがって、「a=−3である」ことは「①の解がx=−52だけである」ための必要条件ではありません。
2つの命題を調べた結果、「a=−3である」ことは「①の解がx=−52だけである」ための十分条件であるが、必要条件ではないことがわかります。
