正の数の有理数乗の性質と大小関係は以下のようになります。
正の数の有理数乗の性質1
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について
\[\large\begin{cases}1<a^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]0<a^r<1&(r>0)\end{cases}\]
$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について、$r$の値にかかわらず常に
\[\large a^r=1\]
$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について
\[\large\begin{cases}0<a^r<1&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]1<a^r&(r>0)\end{cases}\]
特に、正の数$a$と有理数$r$について、$a, r$の値にかかわらず常に
\[\large a^r>0\]
正の数の有理数乗の大小関係
$0<a<1$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について
\[\large a^r>a^s\]
$a=1$である正の数$a$と有理数$r, s$について、$r, s$の値にかかわらず常に
\[\large a^r=a^s=1\]
$1<a$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について
\[\large a^r<a^s\]
$a<b$である正の数$a, b$と有理数$r$について
\[\large\begin{cases}a^r>b^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=b^r=1&(r=0)\\[0.5em]a^r<b^r&(r>0)\end{cases}\]
正の数の有理数乗の性質2
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について
\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=0\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=\infty\end{gather*}
$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について
\[\large\lim_{r\to\infty}a^r=\lim_{r\to-\infty}a^r=1\]
$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について
\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=\infty\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=0\end{gather*}
これらが成り立つことを確かめてみます。
正の数の有理数乗の性質1
正の数$a$と有理数$r$をもちいた有理数乗$a^r$のとる値の範囲を調べます。
正の数$a$と整数$m$と自然数$n$をもちいた有理数乗$a^\frac{m}{n}$は、有理数乗の定義より
\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\]
となります。
したがって、正の数の有理数乗の性質は、正の数の累乗根の性質を利用して考えることができます。
$0<a<1$のとき
整数$m$と自然数$n$をもちいて$r=\dfrac{m}{n}$とおくと、有理数乗$a^r$は、有理数乗の定義と累乗根の計算法則より
\begin{align*}a^r&=a^\frac{m}{n}\\[0.5em]&=\sqrt[n]{a^m}\\[0.5em]&=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\tag1\end{align*}
と書くことができます。
$0<a<1$なので、正の数の累乗根の性質より$0<\sqrt[n]{a}<1$です。
そして、$0<\sqrt[n]{a}<1$と正の数の整数乗の性質より
そして、$0<\sqrt[n]{a}<1$と正の数の整数乗の性質より
\begin{cases}1<\left(\sqrt[n]{a}\right)^m&(m<0)\\[0.5em]\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=1&(m=0)\\[0.5em]0<\left(\sqrt[n]{a}\right)^m<1&(m>0)\end{cases}
となることがわかります。
ここで、$(1)$と
\begin{cases}m<0&\Leftrightarrow&\dfrac{m}{n}=r<0\\[0.5em]m=0&\Leftrightarrow&\dfrac{m}{n}=r=0\\[0.5em]m>0&\Leftrightarrow&\dfrac{m}{n}=r>0\end{cases}
であることを考えれば、
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について
が成り立つことがわかります。
\[\large\begin{cases}1<a^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]0<a^r<1&(r>0)\end{cases}\]
$a=1$のとき
有理数乗の定義と正の数の整数乗の性質と累乗根の性質より、任意の整数$m$と自然数$n$について
\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{1^m}=\sqrt[n]{1}=1\]
が成り立ちます。
したがって、
$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について、$r$の値にかかわらず
が成り立つことがわかります。
\[\large a^r=1\]
$1<a$のとき
整数$m$と自然数$n$をもちいて$r=\dfrac{m}{n}$とおくと、有理数乗$a^r$は$(1)$、すなわち
\[a^r=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\]
と書くことができます。
$1<a$なので、正の数の累乗根の性質より$1<\sqrt[n]{a}$です。
そして、$1<\sqrt[n]{a}$と正の数の整数乗の性質より
そして、$1<\sqrt[n]{a}$と正の数の整数乗の性質より
\begin{cases}0<\left(\sqrt[n]{a}\right)^m<1&(m<0)\\[0.5em]\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=1&(m=0)\\[0.5em]1<\left(\sqrt[n]{a}\right)^m&(m>0)\end{cases}
となることがわかります。
ここで、$(1)$と
\begin{cases}m<0&\Leftrightarrow&\dfrac{m}{n}=r<0\\[0.5em]m=0&\Leftrightarrow&\dfrac{m}{n}=r=0\\[0.5em]m>0&\Leftrightarrow&\dfrac{m}{n}=r>0\end{cases}
であることを考えれば、
$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について
が成り立つことがわかります。
\[\large\begin{cases}0<a^r<1&(r<0)\\[0.5em]a^r=1&(r=0)\\[0.5em]1<a^r&(r>0)\end{cases}\]
また、正の数$a$と有理数$r$の値にかかわらず、有理数乗$a^r$の値が$0$より大きいことは共通しています。
したがって、
正の数$a$と有理数$r$について、$a, r$の値にかかわらず常に
が成り立つことがわかります。
\[\large a^r>0\]
正の数の有理数乗の大小関係
底が同じ場合
正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$をもちいた有理数乗$a^r,
a^s$の大小関係について調べます。
$0<a<1$のとき
有理数乗$a^r, a^s$の比$\dfrac{a^r}{a^s}$は、有理数乗の計算法則より
\[\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\tag2\]
と書くことができます。
$r<s$より$r-s<0$であり、$0<a<1$なので、正の数の有理数乗の性質より
\[1<a^{r-s}\]
であることがわかります。
$(2)$より、
\[1<\frac{a^r}{a^s}\]
となり、両辺に$a^s$を掛けると、正の数の有理数乗の性質より$a^s>0$なので
\[a^s<a^r\]
となります。
したがって、
$0<a<1$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について
が成り立つことがわかります。
\[\large a^r>a^s\]
$a=1$のとき
正の数の有理数乗の性質より、任意の有理数$r, s$について
\[1^r=1, 1^s=1\]
が成り立ちます。
したがって、
$a=1$である正の数$a$と有理数$r, s$について、$r,
s$の値にかかわらず常に
が成り立つことがわかります。
\[\large a^r=a^s=1\]
$1<a$のとき
有理数乗$a^r, a^s$の比$\dfrac{a^r}{a^s}$は$(2)$、すなわち
\[\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\]
と書くことができます。
$r<s$より$r-s<0$であり、$1<a$なので、正の数の有理数乗の性質より
\[0<a^{r-s}<1\]
となります。
$(2)$より、
\[0<\frac{a^r}{a^s}<1\]
となり、両辺に$a^s$を掛けると
\[0<a^r<a^s\]
となります。
したがって、
$1<a$である正の数$a$と$r<s$である有理数$r, s$について
が成り立つことがわかります。
\[\large a^r<a^s\]
底が異なる場合
$a<b$である正の数$a, b$と有理数$r$をもちいた有理数乗$a^r,
b^r$の大小関係を調べます。
有理数乗$a^r, b^r$の比$\dfrac{a^r}{b^r}$は、有理数乗の計算法則より
\[\frac{a^r}{b^r}=\left(\frac{a}{b}\right)^r\tag3\]
と書くことができます。
$0<a<b$より$0<\dfrac{a}{b}<1$なので、正の数の有理数乗の性質より
\begin{cases}1<\left(\dfrac{a}{b}\right)^r&(r<0)\\[0.5em]\left(\dfrac{a}{b}\right)^r=1&(r=0)\\[0.5em]0<\left(\dfrac{a}{b}\right)^r<1&(r>0)\end{cases}
であることがわかります。
$(3)$より、
また、$r=0$のとき、正の数の整数乗の定義より$a^r=b^r=1$となります。
\begin{cases}1<\frac{a^r}{b^r}&(r<0)\\[0.5em]\frac{a^r}{b^r}=1&(r=0)\\[0.5em]0<\frac{a^r}{b^r}<1&(r>0)\end{cases}
となり、それぞれの等式・不等式の各辺に$b^r$を掛けると、正の数の有理数乗の性質より$b^r>0$なので
\begin{cases}b^r<a^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=b^r&(r=0)\\[0.5em]0<a^r<b^r&(r>0)\end{cases}
となります。また、$r=0$のとき、正の数の整数乗の定義より$a^r=b^r=1$となります。
したがって、
$a<b$である正の数$a, b$と有理数$r$について
が成り立つことがわかります。
\[\large\begin{cases}a^r>b^r&(r<0)\\[0.5em]a^r=b^r=1&(r=0)\\[0.5em]a^r<b^r&(r>0)\end{cases}\]
ちなみに、底も指数も異なる有理数乗、すなわち正の数$a, b$と有理数$r, s$をもちいた$a^r, b^s$の大小関係は、有理数乗の範囲で行うのであれば、底または指数を揃える変形をして上述の大小関係に当てはめて考える、あるいはそれぞれの具体的な値を求めて比較することになります。
しかし、そのような方法がとれず大小関係が判断できない場合は、正の数の実数乗の大小関係で考える必要があります。
正の数の有理数乗の性質2
正の数の有理数乗の大小関係を利用して、有理数$r$が$0$から限りなく離れたときの有理数乗$a^r$の値がどうなるかについて考えます。
$0<a<1$のとき
有理数$r$に対し、$n≦r<n+1$となるような整数$n$をとります。
すると、正の数の有理数乗の大小関係より
すると、正の数の有理数乗の大小関係より
\[a^{n+1}<a^r\leqq a^n\]
が成り立ちます。
$r$が限りなく大きくなるとき
$r$が限りなく大きくなると、これを挟んでいる$n,
n+1$も限りなく大きくなります。
すると、正の数の整数乗の性質より$a^n, a^{n+1}$は$0$に限りなく近づきます。
すると、正の数の整数乗の性質より$a^n, a^{n+1}$は$0$に限りなく近づきます。
したがって、これらの間にある$a^r$もまた$0$に限りなく近づくことになり、極限で表せば
\[\lim_{r\to\infty}a^r=0\]
となることがわかります。
$r$が負の方向へ限りなく進むとき
$r$が負の方向へ限りなく進むとき、これを挟んでいる$n,
n+1$も負の方向へ限りなく進みます。
すると、正の数の整数乗の性質より$a^n, a^{n+1}$は限りなく大きくなります。
すると、正の数の整数乗の性質より$a^n, a^{n+1}$は限りなく大きくなります。
したがって、これらの間にある$a^r$もまた限りなく大きくなることになり、極限で表せば
\[\lim_{r\to-\infty}a^r=\infty\]
となることがわかります。
以上より、
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$r$について
となります。
\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=0\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=\infty\end{gather*}
$a=1$のとき
正の数の有理数乗の性質より、任意の有理数$r$について
\[a^r=1\]
が成り立ちます。これは$r$が$0$から限りなく離れたとしても変わりません。
したがって、
$a=1$である正の数$a$と有理数$r$について
であることがわかります。
\[\large\lim_{r\to\infty}a^r=\lim_{r\to-\infty}a^r=1\]
$1<a$のとき
有理数$r$に対し、$n≦r<n+1$となるような整数$n$をとります。
すると、正の数の有理数乗の大小関係より
すると、正の数の有理数乗の大小関係より
\[a^n\leqq a^r<a^{n+1}\]
が成り立ちます。
$r$が限りなく大きくなるとき
$r$が限りなく大きくなると、$n,
n+1$も限りなく大きくなるので、正の数の整数乗の性質より$a^n,
a^{n+1}$も限りなく大きくなります。
したがって、これらの間にある$a^r$もまた限りなく大きくなることになり、極限で表せば
\[\lim_{r\to\infty}a^r=\infty\]
となることがわかります。
$r$が負の方向へ限りなく進むとき
$r$が負の方向へ限りなく進むと、$n,
n+1$も負の方向へ限りなく進むので、正の数の整数乗の性質より$a^n,
a^{n+1}$は$0$に限りなく近づきます。
したがって、これらの間にある$a^r$もまた$0$に限りなく近づくことになり、極限で表せば
\[\lim_{r\to-\infty}a^r=0\]
となることがわかります。
以上より、
$1<a$である正の数$a$と有理数$r$について
となります。
\begin{gather*}\large\lim_{r\to\infty}a^r=\infty\\[1em]\large\lim_{r\to-\infty}a^r=0\end{gather*}
(2026/6)内容を変更しました。
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