正の数の有理数乗の大小関係は以下のようになります。
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$s$について
\begin{cases}1<a^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]0<a^s<1&(s>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と有理数$s$について、$s$の値にかかわらず
\[a^s=1\]
$1<a$である正の数$a$と有理数$s$について
\begin{cases}0<a^s<1&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]1<a^s&(s>0)\end{cases}
正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について
\begin{cases}a^s>a^t&(0<a<1)\\[0.5em]a^s=a^t=1&(a=1)\\[0.5em]a^s<a^t&(1<a)\end{cases}
$a<b$である正の数$a, b$と有理数$s$について
\begin{cases}a^s>b^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=b^s=1&(s=0)\\[0.5em]a^s<b^s&(s>0)\end{cases}
正の数$a$と有理数$\dfrac{m}{n}$（$m:$整数、$n:$自然数）をもちいた有理数乗$a^\frac{m}{n}$は
\[a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\]
と定義されています。
したがって、正の数の累乗根の大小関係を正の数の有理数乗の大小関係として以下のように書き換えることができます。
ですが、これらは冒頭に書いたようにより簡単な形でまとめることができます。
正の数$a$と自然数$n$について
\begin{align*}&\begin{cases}0<a\leqq
a^\frac{1}{n}<1&(0<a<1)\\[1em]a=a^\frac{1}{n}=1&(a=1)\\[1em]1<a^\frac{1}{n}\leqq
a&(1<a)\end{cases}\tag{i}\\
&(0<a<1,1<aの場合の等号成立時はn=1)\end{align*}
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について
\[\begin{cases}1<a^\frac{p}{n}&(p<0)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}=1&(p=0)\\[0.5em]0<a^\frac{p}{n}<1&(p>0)\end{cases}\tag{ii}\]
$a=1$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について、$p$の値にかかわらず
\[a^\frac{p}{n}=1\tag{iii}\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$n$、整数$p$について
\[\begin{cases}0<a^\frac{p}{n}<1&(p<0)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}=1&(p=0)\\[0.5em]1<a^\frac{p}{n}&(p>0)\end{cases}\tag{iv}\]
正の数$a$と$m<n$である自然数$m, n$について
\[\begin{cases}a^\frac{1}{m}<a^\frac{1}{n}&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{1}{m}=a^\frac{1}{n}=1&(a=1)\\[0.5em]a^\frac{1}{m}>a^\frac{1}{n}&(1<a)\end{cases}\tag{v}\]
正の数$a$と自然数$n$、$p<q$である整数$p, q$について
\[\begin{cases}a^\frac{p}{n}>a^\frac{q}{n}&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}=a^\frac{q}{n}=1&(a=1)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}<a^\frac{q}{n}&(1<a)\end{cases}\tag{vi}\]
$0<a<1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について
\[\begin{cases}a^\frac{p}{m}>a^\frac{q}{n}&(np-mq<0)\\[0.5em]a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}&(np-mq=0)\\[0.5em]a^\frac{p}{m}<a^\frac{q}{n}&(np-mq>0)\end{cases}\tag{vii}\]
$a=1$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について、$m, n, p,
q$の値にかかわらず
\[a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}=1\tag{viii}\]
$1<a$である正の数$a$と自然数$m, n$、整数$p, q$について
\[\begin{cases}a^\frac{p}{m}<a^\frac{q}{n}&(np-mq<0)\\[0.5em]a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}&(np-mq=0)\\[0.5em]a^\frac{p}{m}>a^\frac{q}{n}&(np-mq>0)\end{cases}\tag{ix}\]
$a<b$である正の数$a, b$と自然数$n$、整数$p$について
\[\begin{cases}a^\frac{p}{n}>b^\frac{p}{n}&(p<0)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}=b^\frac{p}{n}=1&(p=0)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}<b^\frac{p}{n}&(p>0)\end{cases}\tag{x}\]
同じ底の有理数乗の大小関係
$\text{(ii),(iii),(iv)}$について、両辺を自然数$n$で割ると整数$p$の条件について「$p<0$ならば$\dfrac{p}{n}<0$」、「$p=0$ならば$\dfrac{p}{n}=0$」、「$p>0$ならば$\dfrac{p}{n}>0$」が成り立つことがわかります。
このことから、$\dfrac{p}{n}=s$とおくことで$\text{(ii),(iii),(iv)}$は以下のように書き換えることができます。（自然数$n$、整数$p$そのものよりもこれらをもちいた有理数$\dfrac{p}{n}$、すなわち$s$による性質が重要なので、前提部分の「自然数$n$、整数$p$」も「有理数$s$」に書き換えます。）
この指数と正の数の有理数乗の大きさの関係は、正の数の整数乗と同様であることがわかります。
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$s$について
\[\begin{cases}1<a^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]0<a^s<1&(s>0)\end{cases}\tag{I}\]
$a=1$である正の数$a$と有理数$s$について、$s$の値にかかわらず
\[a^s=1\tag{II}\]
$1<a$である正の数$a$と有理数$s$について
\[\begin{cases}0<a^s<1&(s<0)\\[0.5em]a^s=1&(s=0)\\[0.5em]1<a^s&(s>0)\end{cases}\tag{III}\]
正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$をもちいた$a^s,
a^t$の比$\dfrac{a^s}{a^t}$について考えます。
$0<a<1$のとき
有理数乗の計算法則より
\begin{equation}\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t}\end{equation}
となります。$s<t$より$s-t<0$となります。
上記の正の数の有理数乗の大きさと指数の関係より
\[1<a^{s-t}\]
となり、$(1)$より
\[1<\frac{a^s}{a^t}\]
両辺に$a^t$を掛けて
\[a^t<a^s\]
となります。
したがって、以下のことがいえます。
$0<a<1$である正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について
\[a^s>a^t\tag{IV}\]
$a=1$のとき
$1$の有理数乗は$1$なので、以下のことがいえます。
$a=1$である正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について
\[a^s=a^t=1\tag{V}\]
$1<a$のとき
比$\dfrac{a^s}{a^t}$は有理数乗の計算法則より
\[\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t}\tag1\]
となります。$s<t$より$s-t<0$となります。（再掲）
上記の正の数の有理数乗の大きさと指数の関係より
\[0<a^{s-t}<1\]
となり、$(1)$より
\[0<\frac{a^s}{a^t}<1\]
各辺に$a^t$を掛けて
\[0<a^s<a^t\]
となります。
したがって、以下のことがいえます。
$1<a$である正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について
\[a^s<a^t\tag{VI}\]
上記$\text{(IV), (V), (VI)}$をまとめると以下のように書けます。
正の数$a$と$s<t$である有理数$s, t$について
\[\begin{cases}a^s>a^t&(0<a<1)\\[0.5em]a^s=a^t=1&(a=1)\\[0.5em]a^s<a^t&(1<a)\end{cases}\tag{VII}\]
$\text{(i),(v),(vi),(vii),(viii),(ix)}$は$\text{(I),(II),(III),(IV),(V),(VI)}$（または$\text{(IV),(V),(VI)}$をまとめた$\text{(VII)}$）のいずれかにまとめることができます。
$\text{(i)}$：
$\text{(i)}$は2つの要素で構成されており、
1つ目は、$a^\frac{1}{n}$自身の大きさ
1つ目は、$a^\frac{1}{n}$自身の大きさ
正の数$a$と自然数$n$について
2つ目は、$a$と$a^\frac{1}{n}$の大小関係
\[\begin{cases}0<a^\frac{1}{n}<1&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{1}{n}=1&(a=1)\\[0.5em]1<a^\frac{1}{n}&(1<a)\end{cases}\tag{i-1}\]
正の数$a$と自然数$n$について
です。
\begin{align*}&\begin{cases}a^\frac{1}{n}\geqq
a&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{1}{n}=a&(a=1)\\[0.5em]a^\frac{1}{n}\leqq
a&(1<a)\end{cases}\tag{i-2}\\ &(0<a<1,1<aの場合の等号成立時はn=1)\end{align*}
ここで、「正の数$a$と自然数$n$について」の部分を以下のように書き換えます。
正の数$a$と有理数$\dfrac{1}{n}$（$n:$自然数）について
\[\begin{cases}0<a^\frac{1}{n}<1&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{1}{n}=1&(a=1)\\[0.5em]1<a^\frac{1}{n}&(1<a)\end{cases}\tag*{(i-1)'}\]
正の数$a$と有理数$\dfrac{1}{n}$（$n:$自然数）について
\begin{align*}&\begin{cases}a^\frac{1}{n}\geqq
a&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{1}{n}=a&(a=1)\\[0.5em]a^\frac{1}{n}\leqq
a&(1<a)\end{cases}\tag*{(i-2)'}\\ &(0<a<1,1<aの場合の等号成立時はn=1)\end{align*}
すると、$\text{(i-1)'}$の式は上から$\text{(ii), (iii),(iv)}$の$p=1$、すなわち$p>0$の場合にあてはまります。これは、$\text{(I), (II),(III)}$の$s>0$の場合にあてはまるということです。
したがって、$\text{(i-1)'}$、すなわち$\text{(i-1)}$は$\text{(I),(II),(III)}$にまとめることができます。
また、$\text{(i-2)'}$は$a=a^1$とし、等号が成立する$n=1$のときを除けば$\text{(VII)}$の$s=\dfrac{1}{n},
t=1$の場合にあてはまります。
したがって、$\text{(i-2)'}$、すなわち$\text{(i-2)}$は$\text{(VII)}$にまとめることができます。
$\text{(v)}$：
$m<n$の両辺を$mn$で割ると$\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{m}$となります。
したがって、$\text{(v)}$は以下のように書き換えることができます。
正の数$a$と$\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{m}$である有理数$\dfrac{1}{m},
\dfrac{1}{n}$（$m, n:$自然数）について
これは、$s=\dfrac{1}{n},
t=\dfrac{1}{m}$のときの$\text{(IV)}$となるため、$\text{(v)}$は$\text{(IV)}$にまとめることができます。
\begin{cases}a^\frac{1}{m}<a^\frac{1}{n}&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{1}{m}=a^\frac{1}{n}=1&(a=1)\\[0.5em]a^\frac{1}{m}>a^\frac{1}{n}&(1<a)\end{cases}
$\text{(vi)}$：
$p<q$の両辺を$n$で割ると$\dfrac{p}{n}<\dfrac{q}{n}$となります。
したがって、$\text{(vi)}$は以下のように書き換えることができます。
正の数$a$と$\dfrac{p}{n}<\dfrac{q}{n}$である有理数$\dfrac{p}{n},
\dfrac{q}{n}$（$n:$自然数、$p, q:$整数）について
これは、$s=\dfrac{p}{n},
t=\dfrac{q}{n}$のときの$\text{(IV)}$となるため、$\text{(vi)}$は$\text{(IV)}$にまとめることができます。
\begin{cases}a^\frac{p}{n}>a^\frac{q}{n}&(0<a<1)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}=a^\frac{q}{n}=1&(a=1)\\[0.5em]a^\frac{p}{n}<a^\frac{q}{n}&(1<a)\end{cases}
$\text{(vii)}$：
$np-mq<0$は変形すると
\begin{align*}np&<mq\\[0.5em]np\cdot\frac{1}{mn}&<mq\cdot\frac{1}{mn}\\[0.5em]\frac{p}{m}&<\frac{q}{n}\end{align*}
となり、同様にして$np-mq=0, np-mq>0$はそれぞれ
\begin{align*}np-mq=0&\quad\Rightarrow\quad\frac{p}{m}=\frac{q}{n}\\[1em]np-mq>0&\quad\Rightarrow\quad\frac{p}{m}>\frac{q}{n}\end{align*}
となります。
したがって、$\text{(vii)}$は以下のように書き換えることができます。
$0<a<1$である正の数$a$と有理数$\dfrac{p}{m}, \dfrac{q}{n}$（$m,
n:$自然数、$p, q:$整数）について
\begin{cases}a^\frac{p}{m}>a^\frac{q}{n}&\left(\dfrac{p}{m}<\dfrac{q}{n}\right)&\cdots\text{(vii-1)}\\[0.5em]a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}&\left(\dfrac{p}{m}=\dfrac{q}{n}\right)&\cdots\text{(vii-2)}\\[0.5em]a^\frac{p}{m}<a^\frac{q}{n}&\left(\dfrac{p}{m}>\dfrac{q}{n}\right)&\cdots\text{(vii-3)}\end{cases}
$\text{(vii-1)}$は、$s=\dfrac{p}{m},
t=\dfrac{q}{n}$のときの$\text{(IV)}$となるため、$\text{(IV)}$にまとめることができます。
$\text{(vii-2)}$は、底と指数がそれぞれ等しければ有理数乗の値も等しいという有理数乗の基本的な性質を表しています。
ここでは指数が異なる有理数乗の大小関係について考えているので、これは除きます。
ここでは指数が異なる有理数乗の大小関係について考えているので、これは除きます。
$\text{(vii-3)}$は、$s=\dfrac{q}{n},
t=\dfrac{p}{m}$のときの$\text{(IV)}$となるため、$\text{(IV)}$にまとめることができます。
したがって、指数が等しい場合を除いて$\text{(vii)}$は$\text{(IV)}$にまとめることができます。
$\text{(viii)}$：
$m, n, p,
q$の値にかかわらないということは、これらをもちいた有理数乗の指数$\dfrac{p}{m},
\dfrac{q}{n}$の値にかかわらないということでもあります。
$\dfrac{p}{m},
\dfrac{q}{n}$の関係には、$\dfrac{p}{m}<\dfrac{q}{n}$の場合、$\dfrac{p}{m}=\dfrac{q}{n}$の場合、$\dfrac{p}{m}>\dfrac{q}{n}$の場合があることから、$\text{(viii)}$は以下のように3つの場合に分けて書き換えることができます。
すると、$\text{(viii-1)}$は、$s=\dfrac{p}{m},
t=\dfrac{q}{n}$のときの$\text{(V)}$となり、
$\text{(viii-3)}$は、$s=\dfrac{q}{n}, t=\dfrac{p}{m}$のときの$\text{(V)}$となるため、$\text{(V)}$にまとめることができます。
$a=1$である正の数$a$と$\dfrac{p}{m}<\dfrac{q}{n}$である有理数$\dfrac{p}{m},
\dfrac{q}{n}$（$m, n:$自然数、$p, q:$整数）について
\[a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}=1\tag{viii-1}\]
$a=1$である正の数$a$と$\dfrac{p}{m}=\dfrac{q}{n}$である有理数$\dfrac{p}{m},
\dfrac{q}{n}$（$m, n:$自然数、$p, q:$整数）について
\[a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}=1\tag{viii-2}\]
$a=1$である正の数$a$と$\dfrac{p}{m}>\dfrac{q}{n}$である有理数$\dfrac{p}{m},
\dfrac{q}{n}$（$m, n:$自然数、$p, q:$整数）について
\[a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}=1\tag{viii-3}\]
$\text{(viii-3)}$は、$s=\dfrac{q}{n}, t=\dfrac{p}{m}$のときの$\text{(V)}$となるため、$\text{(V)}$にまとめることができます。
$\text{(viii-2)}$は、$\text{(vii-2)}$と同様、指数が等しいときなので除きます。
したがって、指数が等しい場合を除いて$\text{(viii)}$は$\text{(V)}$にまとめることができます。
$\text{(ix)}$：
$\text{(vii)}$と同様にして、$\text{(ix)}$は以下のように書き換えることができます。
$\text{(ix-3)}$は、$s=\dfrac{q}{n}, t=\dfrac{p}{m}$のときの$\text{(VI)}$となるため、$\text{(VI)}$にまとめることができます。
$1<a$である正の数$a$と有理数$\dfrac{p}{m}, \dfrac{q}{n}$（$m,
n:$自然数、$p, q:$整数）について
すると、$\text{(ix-1)}$は、$s=\dfrac{p}{m},
t=\dfrac{q}{n}$のときの$\text{(VI)}$となり、
\begin{cases}a^\frac{p}{m}<a^\frac{q}{n}&\left(\dfrac{p}{m}<\dfrac{q}{n}\right)&\cdots\text{(ix-1)}\\[0.5em]a^\frac{p}{m}=a^\frac{q}{n}&\left(\dfrac{p}{m}=\dfrac{q}{n}\right)&\cdots\text{(ix-2)}\\[0.5em]a^\frac{p}{m}>a^\frac{q}{n}&\left(\dfrac{p}{m}>\dfrac{q}{n}\right)&\cdots\text{(ix-3)}\end{cases}
$\text{(ix-3)}$は、$s=\dfrac{q}{n}, t=\dfrac{p}{m}$のときの$\text{(VI)}$となるため、$\text{(VI)}$にまとめることができます。
$\text{(ix-2)}$は、$\text{(vii-2)}$と同様、指数が等しいときなので除きます。
したがって、指数が等しい場合を除いて$\text{(ix)}$は$\text{(VI)}$にまとめることができます。
以上より、$\text{(i)～(ix)}$は指数が等しくなる場合を除いて$\text{(I),(II),(III),(VII)}$にまとめられることがわかります。
異なる底の有理数乗の大小関係
異なる底の有理数乗の大小関係は$\text{(x)}$のみです。
両辺を自然数$n$で割ると整数$p$の条件について「$p<0$ならば$\dfrac{p}{n}<0$」、「$p=0$ならば$\dfrac{p}{n}=0$」、「$p>0$ならば$\dfrac{p}{n}>0$」が成り立つことがわかります。
すると、$\dfrac{p}{n}=s$とおくことで$\text{(x)}$は以下のように書き換えることができます。
すると、$\dfrac{p}{n}=s$とおくことで$\text{(x)}$は以下のように書き換えることができます。
$a<b$である正の数$a, b$と有理数$s$について
この大小関係は、正の数の整数乗と同様であることがわかります。
\begin{cases}a^s>b^s&(s<0)\\[0.5em]a^s=b^s=1&(s=0)\\[0.5em]a^s<b^s&(s>0)\end{cases}
底も指数も異なる有理数乗、すなわち正の数$a, b$と有理数$s,
t$をもちいた$a^s,
b^t$の大小関係は、整数乗の場合と同様の理由で簡単には知ることができません。
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