$72°$は$360°$の5分の1なので、5倍角の公式をもちいて$72°\ (＝\dfrac{2\pi}{5})$のときの三角関数を求めます。
$\sin72°$
5倍角の公式より
\[\sin5θ=16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ\]
$θ=72°$とすると
\[\sin360°=16\sin^5 72°-20\sin^3 72°+5\sin72°\]
$\sin360°=0$であるので
\begin{align*}16\sin^5 72°-20\sin^3
72°+5\sin72°&=0\\[0.5em]\sin72°\left(16\sin^4 72°-20\sin^2
72°+5\right)&=0\\[0.5em]\sin72°=0,16\sin^4 72°-20\sin^2
72°+5&=0\end{align*}
$\sin72°>0$なので$\sin72°=0$は不適、$16\sin^4 72°-20\sin^2
72°+5=0$を解きます。
$\sin^2 72°=x$とすると
\[16x^2-20x+5=0\]
解の公式より
\begin{align*}x&=\frac{20\pm\sqrt{20^2-4× 16× 5}}{2×
16}\\[0.5em]&=\frac{20\pm4\sqrt{5}}{32}\\[0.5em]=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}\end{align*}
よって、
\begin{align*}\sin^2
72°&=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}\\[1em]\sin72°&=\frac{\sqrt{5\pm\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}&(\because\sin72°>0)\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10\pm2\sqrt{5}}}{4}\end{align*}
$\sin60°<\sin72°<\sin90°$すなわち$\dfrac{\sqrt{3}}{2}<\sin72°<1$より
$\sin72°=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$の場合
\begin{align*}\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}&≒\frac{\sqrt{10-2×
2.23}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5.54}}{4}\\[0.5em]\frac{\sqrt{5.54}}{4}&<\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{4}\end{align*}
となるため不適。
$\sin72°=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$の場合
\begin{align*}\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&≒\frac{\sqrt{10+2×
2.23}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{14.46}}{4}\\[0.5em]\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}&<\frac{\sqrt{14.46}}{4}<1=\frac{\sqrt{16}}{4}\end{align*}
となるため$\sin72°=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$が適する値となります。
$\cos72°$
$\cos72°$は、三角関数の相互関係$\sin^2θ+\cos^2θ=1$より
\begin{align*}\sin^2 72°+\cos^2
72°&=1\\[0.5em]\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)^2+\cos^2
72°&=1\\[0.5em]\frac{5+\sqrt{5}}{8}+\cos^2 72°&=1\\[0.5em]\cos^2
72°&=1-\frac{5+\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]&=\frac{3-\sqrt{5}}{8}\\[1em]\cos72°&=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}&(\because\cos72°>0)\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\end{align*}
となります。
$\tan72°$
$\tan72°$は、三角関数の相互関係$\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}$より
\begin{align*}\tan72°&=\frac{\sin72°}{\cos72°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{\left(10+2\sqrt{5}\right)\left(6+2\sqrt{5}\right)}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80+32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\end{align*}
となります。
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin72°&=0.95106\\[1em]\cos72°&=0.30902\\[1em]\tan72°&=3.0777\end{align*}
(2023/11)加筆修正しました。
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