sin72°、cos72°、tan72°はどんな数？ ~ 数学について考えてみる

2021年10月9日

sin72°、cos72°、tan72°はどんな数？

PLUMBAGO

　 $72°$ は $360°$ の5分の1なので、5倍角の公式をもちいて $72°\ (＝\dfrac{2\pi}{5})$ のときの三角関数を求めます。

$\sin72°$

　5倍角の公式より

$\sin5θ=16\sin^5θ-20\sin^3θ+5\sinθ$

$θ=72°$ とすると

$\sin360°=16\sin^5 72°-20\sin^3 72°+5\sin72°$

$\sin360°=0$ であるので

$\begin{align*}16\sin^5 72°-20\sin^3 72°+5\sin72°&=0\\[0.5em]\sin72°\left(16\sin^4 72°-20\sin^2 72°+5\right)&=0\\[0.5em]\sin72°=0,16\sin^4 72°-20\sin^2 72°+5&=0\end{align*}$

$\sin72°>0$ なので

$\sin72°=0$ は不適、

$16\sin^4 72°-20\sin^2 72°+5=0$ を解きます。

$\sin^2 72°=x$ とすると

$16x^2-20x+5=0$

解の公式より

$\begin{align*}x&=\frac{20\pm\sqrt{20^2-4× 16× 5}}{2× 16}\\[0.5em]&=\frac{20\pm4\sqrt{5}}{32}\\[0.5em]=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}\end{align*}$

よって、

$\begin{align*}\sin^2 72°&=\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}\\[1em]\sin72°&=\frac{\sqrt{5\pm\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}&(\because\sin72°>0)\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10\pm2\sqrt{5}}}{4}\end{align*}$

$\sin60°<\sin72°<\sin90°$ すなわち

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}<\sin72°<1$ より

$\sin72°=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ の場合

$\begin{align*}\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}&≒\frac{\sqrt{10-2× 2.23}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5.54}}{4}\\[0.5em]\frac{\sqrt{5.54}}{4}&<\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{4}\end{align*}$

となるため不適。

$\sin72°=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ の場合

$\begin{align*}\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&≒\frac{\sqrt{10+2× 2.23}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{14.46}}{4}\\[0.5em]\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}&<\frac{\sqrt{14.46}}{4}<1=\frac{\sqrt{16}}{4}\end{align*}$

となるため

$\sin72°=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ が適する値となります。

$\cos72°$

$\cos72°$ は、三角関数の相互関係

$\sin^2θ+\cos^2θ=1$ より

$\begin{align*}\sin^2 72°+\cos^2 72°&=1\\[0.5em]\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)^2+\cos^2 72°&=1\\[0.5em]\frac{5+\sqrt{5}}{8}+\cos^2 72°&=1\\[0.5em]\cos^2 72°&=1-\frac{5+\sqrt{5}}{8}\\[0.5em]&=\frac{3-\sqrt{5}}{8}\\[1em]\cos72°&=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}&(\because\cos72°>0)\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\end{align*}$

となります。

$\tan72°$

$\tan72°$ は、三角関数の相互関係

$\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}$ より

$\begin{align*}\tan72°&=\frac{\sin72°}{\cos72°}\\[0.5em]&=\frac{\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{\left(10+2\sqrt{5}\right)\left(6+2\sqrt{5}\right)}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80+32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\underline{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\end{align*}$

となります。

　それぞれの近似値は以下のようになります。

$\begin{align*}\sin72°&=0.95106\\[1em]\cos72°&=0.30902\\[1em]\tan72°&=3.0777\end{align*}$

(2023/11)加筆修正しました。