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2023年12月6日

18°、36°、54°、72°の三角比

 18°,36°,54°,72°の三角比はすべて1つの三角形を出発点として求めることができます。


18°,72°の三角比

AB=AC=1,∠BAC=36°である二等辺三角形
 AB=AC=1,A=36°であるABCを考えます。この二等辺三角形の底角B, Cの大きさはそれぞれ180°36°2=72°です。
∠Bの二等分線を引く
Bの二等分線を引き、辺ACとの交点をDとするとABDBCDの2つの三角形ができます。

ABDに着目するとABD=36°,BAD=36°よりAD=BDである二等辺三角形であることがわかります。

BCDに着目するとCBD=72°2=36°,BCD=72°よりBDC=180°(36°+72°)=72°なのでBC=BDである二等辺三角形であることがわかり、3組の角がそれぞれ等しいのでABCBCDは相似であることがわかります。

△ABCと△BCDは相似
BC=xとおくと、BC=BD=AD=xよりCD=1xとなります。
ABCBCDの相似比を考えxを求めると
AB:BC=BC:CD1:x=x:1xx2=1xx2+x1=0x=1±1241(1)2=1±52x=512(x>0)
となります。
頂点Aから底辺へ垂線を引く
ここで、ABCの頂点Aから辺BCへ垂線を下ろし、その足をEとします。
二等辺三角形の性質より線分AEは辺BCの垂直二等分線でもあるので、AEB=90°であり、点Eは辺BCの中点であることがわかります。
したがって、
BE=51212=514
となります。
△ABEから三角比を求める
 ABEに着目すると、この三角形はAEB=90°である直角三角形で、2つの鋭角の大きさはそれぞれABE=72°BAE=90°72°=18°です。
また、三平方の定理よりAEの長さを求めると
AB2=AE2+BE212=AE2+(514)21=AE2+62516AE2=162516=10+2516AE=10+254(AE>0)
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
BAE=18°に着目して三角比を求めると
sin18°=BEAB=5141=514cos18°=AEAB=10+2541=10+254tan18°=BEAE=51410+254=5110+25=5110+2510+2510+25=(51)10+2510+25=(51)2(10+25)10+25=(625)(10+25)10+25=408510+25=10255+5=10255+55555=(30105)(1025)20=400160520=251055
ABE=72°に着目して三角比を求めると
sin72°=AEAB=10+254cos72°=BEAB=514tan72°=AEBE=10+254514=10+2551=10+25515+15+1=(6+25)(10+25)4=80+3254=5+25
となります。

36°,54°の三角比

△ABD
 再びABDに着目すると、DAB=DBA=36°よりADB=180°(36°+36°)=108°で、AD=BD=BCよりAD=BD=512です。
△ADFから三角比を求める
このABDの頂点Dから辺ABへ垂線をおろし、その足をFとします。
二等辺三角形の性質より線分DFは辺ABの垂直二等分線でもあるのでAFD=90°であり、点Fは辺ABの中点であることがわかります。
したがって、AB=1よりAF=12です。
 ADFに着目すると、この三角形はAFD=90°である直角三角形で、2つの鋭角の大きさはDAF=36°ADF=90°36°=54°です。
また、三平方の定理よりDFの長さを求めると
AD2=AF2+DF2(512)2=(12)2+DF26254=14+DF2DF2=5254DF=5252(DF>0)
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
DAF=36°に着目して三角比を求めると
sin36°=DFAD=5252512=52551=525515+15+1=(6+25)(525)4=10254cos36°=AFAD=12512=151=1515+15+1=5+14tan36°=DFAF=102545+14=10255+1=10255+15151=(625)(1025)4=803254=525
ADF=54°に着目して三角比を求めると
sin54°=AFAD=151=5+14cos54°=DFAD=52551=10254tan54°=AFDF=1tan36°=1525=1525525525=525525=5255255+255+25=(45+205)(525)5=25+1055
となります。

 18°,36°,54°,72°の三角比を改めて以下にまとめます。また、それぞれの近似値も一覧表にしてまとめてみます。
sin18°=514cos18°=10+254tan18°=251055sin36°=10254cos36°=5+14tan36°=525sin54°=5+14cos54°=10254tan54°=25+1055sin72°=10+254cos72°=514tan72°=5+25

角度 sin cos tan
18° 0.30902 0.95106 0.32492
36° 0.58779 0.80902 0.72654
54° 0.80902 0.58779 1.3764
72° 0.95106 0.30902 3.0777

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