$18°,36°,54°,72°$の三角比はすべて1つの三角形を出発点として求めることができます。
$18°,72°$の三角比
.png)
$△ABD$に着目すると$∠ABD=36°,∠BAD=36°$より$AD=BD$である二等辺三角形であることがわかります。
$△BCD$に着目すると$∠CBD=\dfrac{72°}{2}=36°,∠BCD=72°$より$∠BDC=180°-(36°+72°)=72°$なので$BC=BD$である二等辺三角形であることがわかり、3組の角がそれぞれ等しいので$△ABC$と$△BCD$は相似であることがわかります。
.png)
$△ABC$と$△BCD$の相似比を考え$x$を求めると
\begin{align*}AB:BC&=BC:CD\\[0.5em]1:x&=x:1-x\\[0.5em]x^2&=1-x\\[0.5em]x^2+x-1&=0\\[0.5em]x&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}\\[0.5em]&=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\[0.5em]x&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}&(\because
x>0)\end{align*}
となります。
二等辺三角形の性質より線分$AE$は辺$BC$の垂直二等分線でもあるので、$∠AEB=90°$であり、点$E$は辺$BC$の中点であることがわかります。
したがって、
\begin{align*}BE&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\[0.5em]&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}
となります。
.png)
また、三平方の定理より$AE$の長さを求めると
\begin{align*}AB^2&=AE^2+BE^2\\[0.5em]1^2&=AE^2+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2\\[0.5em]1&=AE^2+\frac{6-2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]AE^2&=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]&=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]AE&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&(\because
AE>0)\end{align*}
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
$∠BAE=18°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin18°&=\frac{BE}{AB}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}{1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\cos18°&=\frac{AE}{AB}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\tan18°&=\frac{BE}{AE}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(10+2\sqrt{5})}}{{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{5+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{5+\sqrt{5}}\cdot\frac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(30-10\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{20}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{400-160\sqrt{5}}}{20}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\end{align*}
$∠ABE=72°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin72°&=\frac{AE}{AB}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos72°&=\frac{BE}{AB}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\tan72°&=\frac{AE}{BE}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6+2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80+32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\end{align*}
となります。
$36°,54°$の三角比
.png)
.png)
二等辺三角形の性質より線分$DF$は辺$AB$の垂直二等分線でもあるので$∠AFD=90°$であり、点$F$は辺$AB$の中点であることがわかります。
したがって、$AB=1$より$AF=\dfrac{1}{2}$です。
$△ADF$に着目すると、この三角形は$∠AFD=90°$である直角三角形で、2つの鋭角の大きさは$∠DAF=36°$、$∠ADF=90°-36°=54°$です。
また、三平方の定理より$DF$の長さを求めると
また、三平方の定理より$DF$の長さを求めると
\begin{align*}AD^2&=AF^2+DF^2\\[0.5em]\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2&=\left(\frac{1}{2}\right)^2+DF^2\\[0.5em]\frac{6-2\sqrt{5}}{4}&=\frac{1}{4}+DF^2\\[0.5em]DF^2&=\frac{5-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]DF&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2}&(\because
DF>0)\end{align*}
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
$∠DAF=36°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin36°&=\frac{DF}{AD}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{AF}{AD}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[1em]\tan36°&=\frac{DF}{AF}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\cfrac{\sqrt{5}+1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\end{align*}
$∠ADF=54°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin54°&=\frac{AF}{AD}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[1em]\cos54°&=\frac{DF}{AD}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\tan54°&=\frac{AF}{DF}\\[0.5em]&=\frac{1}{\tan36°}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5-2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5-2\sqrt{5}}\cdot\frac{5+2\sqrt{5}}{5+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(45+20\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}}{5}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\end{align*}
となります。
$18°,36°,54°,72°$の三角比を改めて以下にまとめます。また、それぞれの近似値も一覧表にしてまとめてみます。
\begin{align*}\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\tan18°&=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\\[1em]\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[0.5em]\tan36°&=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\\[1em]\sin54°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[0.5em]\cos54°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\tan54°&=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\\[1em]\sin72°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos72°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\tan72°&=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\end{align*}
| 角度 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $18°$ | $0.30902$ | $0.95106$ | $0.32492$ |
| $36°$ | $0.58779$ | $0.80902$ | $0.72654$ |
| $54°$ | $0.80902$ | $0.58779$ | $1.3764$ |
| $72°$ | $0.95106$ | $0.30902$ | $3.0777$ |
Share:
