18°,36°,54°,72°の三角比はすべて1つの三角形を出発点として求めることができます。
18°,72°の三角比
AB=AC=1,∠A=36°である
△ABCを考えます。この二等辺三角形の底角
∠B, ∠Cの大きさはそれぞれ
180°−36°2=72°です。
∠Bの二等分線を引き、辺
ACとの交点を
Dとすると
△ABDと
△BCDの2つの三角形ができます。
△ABDに着目すると∠ABD=36°,∠BAD=36°よりAD=BDである二等辺三角形であることがわかります。
△BCDに着目すると∠CBD=72°2=36°,∠BCD=72°より∠BDC=180°−(36°+72°)=72°なのでBC=BDである二等辺三角形であることがわかり、3組の角がそれぞれ等しいので△ABCと△BCDは相似であることがわかります。
BC=xとおくと、
BC=BD=AD=xより
CD=1−xとなります。
△ABCと
△BCDの相似比を考え
xを求めると
AB:BC=BC:CD1:x=x:1−xx2=1−xx2+x−1=0x=−1±√12−4⋅1⋅(−1)2=−1±√52x=√5−12(∵x>0)
となります。
ここで、
△ABCの頂点
Aから辺
BCへ垂線を下ろし、その足を
Eとします。
二等辺三角形の性質より線分AEは辺BCの垂直二等分線でもあるので、∠AEB=90°であり、点Eは辺BCの中点であることがわかります。
したがって、
BE=√5−12⋅12=√5−14
となります。
△ABEに着目すると、この三角形は
∠AEB=90°である直角三角形で、2つの鋭角の大きさはそれぞれ
∠ABE=72°、
∠BAE=90°−72°=18°です。
また、三平方の定理より
AEの長さを求めると
AB2=AE2+BE212=AE2+(√5−14)21=AE2+6−2√516AE2=1−6−2√516=10+2√516AE=√10+2√54(∵AE>0)
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
∠BAE=18°に着目して三角比を求めると
sin18°=BEAB=√5−141=√5−14cos18°=AEAB=√10+2√541=√10+2√54tan18°=BEAE=√5−14√10+2√54=√5−1√10+2√5=√5−1√10+2√5⋅√10+2√5√10+2√5=(√5−1)√10+2√510+2√5=√(√5−1)2(10+2√5)10+2√5=√(6−2√5)(10+2√5)10+2√5=√40−8√510+2√5=√10−2√55+√5=√10−2√55+√5⋅5−√55−√5=√(30−10√5)(10−2√5)20=√400−160√520=√25−10√55
∠ABE=72°に着目して三角比を求めると
sin72°=AEAB=√10+2√54cos72°=BEAB=√5−14tan72°=AEBE=√10+2√54√5−14=√10+2√5√5−1=√10+2√5√5−1⋅√5+1√5+1=√(6+2√5)(10+2√5)4=√80+32√54=√5+2√5
となります。
36°,54°の三角比
再び
△ABDに着目すると、
∠DAB=∠DBA=36°より
∠ADB=180°−(36°+36°)=108°で、
AD=BD=BCより
AD=BD=√5−12です。
この
△ABDの頂点
Dから辺
ABへ垂線をおろし、その足を
Fとします。
二等辺三角形の性質より線分
DFは辺
ABの垂直二等分線でもあるので
∠AFD=90°であり、点
Fは辺
ABの中点であることがわかります。
したがって、AB=1よりAF=12です。
△ADFに着目すると、この三角形は
∠AFD=90°である直角三角形で、2つの鋭角の大きさは
∠DAF=36°、
∠ADF=90°−36°=54°です。
また、三平方の定理より
DFの長さを求めると
AD2=AF2+DF2(√5−12)2=(12)2+DF26−2√54=14+DF2DF2=5−2√54DF=√5−2√52(∵DF>0)
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
∠DAF=36°に着目して三角比を求めると
sin36°=DFAD=√5−2√52√5−12=√5−2√5√5−1=√5−2√5√5−1⋅√5+1√5+1=√(6+2√5)(5−2√5)4=√10−2√54cos36°=AFAD=12√5−12=1√5−1=1√5−1⋅√5+1√5+1=√5+14tan36°=DFAF=√10−2√54√5+14=√10−2√5√5+1=√10−2√5√5+1⋅√5−1√5−1=√(6−2√5)(10−2√5)4=√80−32√54=√5−2√5
∠ADF=54°に着目して三角比を求めると
sin54°=AFAD=1√5−1=√5+14cos54°=DFAD=√5−2√5√5−1=√10−2√54tan54°=AFDF=1tan36°=1√5−2√5=1√5−2√5⋅√5−2√5√5−2√5=√5−2√55−2√5=√5−2√55−2√5⋅5+2√55+2√5=√(45+20√5)(5−2√5)5=√25+10√55
となります。
18°,36°,54°,72°の三角比を改めて以下にまとめます。また、それぞれの近似値も一覧表にしてまとめてみます。
sin18°=√5−14cos18°=√10+2√54tan18°=√25−10√55sin36°=√10−2√54cos36°=√5+14tan36°=√5−2√5sin54°=√5+14cos54°=√10−2√54tan54°=√25+10√55sin72°=√10+2√54cos72°=√5−14tan72°=√5+2√5
角度 |
sin |
cos |
tan |
18° |
0.30902 |
0.95106 |
0.32492 |
36° |
0.58779 |
0.80902 |
0.72654 |
54° |
0.80902 |
0.58779 |
1.3764 |
72° |
0.95106 |
0.30902 |
3.0777 |