18°、36°、54°、72°の三角比 ~ 数学について考えてみる

　 $18°, 36°, 54°, 72°$ の三角比はすべて1つの三角形を出発点として求めることができます。

$18°, 72°$ の三角比

$\text{AB}=\text{AC}=1, ∠\text{A}=36°$ である

$△\text{ABC}$ を考えます。この二等辺三角形の底角

$∠\text{B, }∠\text{C}$ の大きさはそれぞれ

$\dfrac{180°-36°}{2}=72°$ です。

$∠\text{B}$ の二等分線を引き、辺

$\text{AC}$ との交点を

$\text{D}$ とすると

$△\text{ABD}$ と

$△\text{BCD}$ の2つの三角形ができます。

$△\text{ABD}$ に着目すると $∠\text{ABD}=36°, ∠\text{BAD}=36°$ より $\text{AD}=\text{BD}$ である二等辺三角形であることがわかります。

$△\text{BCD}$ に着目すると $∠\text{CBD}=\dfrac{72°}{2}=36°, ∠\text{BCD}=72°$ より $∠\text{BDC}=180°-(36°+72°)=72°$ なので $\text{BC}=\text{BD}$ である二等辺三角形であることがわかり、3組の角がそれぞれ等しいので $△\text{ABC}$ と $△\text{BCD}$ は相似であることがわかります。

$\text{BC}=x$ とおくと、

$\text{BC}=\text{BD}=\text{AD}=x$ より

$\text{CD}=1-x$ となります。

$△\text{ABC}$ と

$△\text{BCD}$ の相似比を考え

$x$ を求めると

$\begin{align*}\text{AB}:\text{BC}&=\text{BC}:\text{CD}\\[0.5em]1:x&=x:1-x\\[0.5em]x^2&=1-x\\[0.5em]x^2+x-1&=0\\[0.5em]x&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}\\[0.5em]&=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\[0.5em]x&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}&(\because x>0)\end{align*}$

となります。

ここで、

$△\text{ABC}$ の頂点

$\text{A}$ から辺

$\text{BC}$ へ垂線を下ろし、その足を

$\text{E}$ とします。

二等辺三角形の性質より線分

$\text{AE}$ は辺

$\text{BC}$ の垂直二等分線でもあるので、

$∠\text{AEB}=90°$ であり、点

$\text{E}$ は辺

$\text{BC}$ の中点であることがわかります。

したがって、

$\begin{align*}\text{BE}&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\[0.5em]&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}$

となります。

$△\text{ABE}$ に着目すると、この三角形は

$∠\text{AEB}=90°$ である直角三角形で、2つの鋭角の大きさはそれぞれ

$∠\text{ABE}=72°$ 、

$∠\text{BAE}=90°-72°=18°$ です。

また、三平方の定理より

$\text{AE}$ の長さを求めると

$\begin{align*}\text{AB}^2&=\text{AE}^2+\text{BE}^2\\[0.5em]1^2&=\text{AE}^2+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2\\[0.5em]1&=\text{AE}^2+\frac{6-2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]\text{AE}^2&=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]&=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]\text{AE}&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&(\because \text{AE}>0)\end{align*}$

となります。

直角三角形による三角関数の定義に従い、

$∠\text{BAE}=18°$ に着目して三角比を求めると

$\begin{align*}\sin18°&=\frac{\text{BE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}{1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\cos18°&=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\tan18°&=\frac{\text{BE}}{\text{AE}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(10+2\sqrt{5})}}{{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{5+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{5+\sqrt{5}}\cdot\frac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(30-10\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{20}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{400-160\sqrt{5}}}{20}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\end{align*}$

$∠\text{ABE}=72°$ に着目して三角比を求めると

$\begin{align*}\sin72°&=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos72°&=\frac{\text{BE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\tan72°&=\frac{\text{AE}}{\text{BE}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6+2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80+32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\end{align*}$

となります。

$36°, 54°$ の三角比

　再び

$△\text{ABD}$ に着目すると、

$∠\text{DAB}=∠\text{DBA}=36°$ より

$∠\text{ADB}=180°-(36°+36°)=108°$ で、

$\text{AD}=\text{BD}=\text{BC}$ より

$\text{AD}=\text{BD}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ です。

この

$△\text{ABD}$ の頂点

$\text{D}$ から辺

$\text{AB}$ へ垂線をおろし、その足を

$\text{F}$ とします。
二等辺三角形の性質より線分

$\text{DF}$ は辺

$\text{AB}$ の垂直二等分線でもあるので

$∠\text{AFD}=90°$ であり、点

$\text{F}$ は辺

$\text{AB}$ の中点であることがわかります。

したがって、

$\text{AB}=1$ より

$\text{AF}=\dfrac{1}{2}$ です。

$△\text{ADF}$ に着目すると、この三角形は

$∠\text{AFD}=90°$ である直角三角形で、2つの鋭角の大きさは

$∠\text{DAF}=36°$ 、

$∠\text{ADF}=90°-36°=54°$ です。
また、三平方の定理より

$\text{DF}$ の長さを求めると

$\begin{align*}\text{AD}^2&=\text{AF}^2+\text{DF}^2\\[0.5em]\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2&=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\text{DF}^2\\[0.5em]\frac{6-2\sqrt{5}}{4}&=\frac{1}{4}+\text{DF}^2\\[0.5em]\text{DF}^2&=\frac{5-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]\text{DF}&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2}&(\because \text{DF}>0)\end{align*}$

となります。

直角三角形による三角関数の定義に従い、

$∠\text{DAF}=36°$ に着目して三角比を求めると

$\begin{align*}\sin36°&=\frac{\text{DF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{\text{AF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[1em]\tan36°&=\frac{\text{DF}}{\text{AF}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\cfrac{\sqrt{5}+1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\end{align*}$

$∠\text{ADF}=54°$ に着目して三角比を求めると

$\begin{align*}\sin54°&=\frac{\text{AF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[1em]\cos54°&=\frac{\text{DF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\tan54°&=\frac{\text{AF}}{\text{DF}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\tan36°}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5-2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5-2\sqrt{5}}\cdot\frac{5+2\sqrt{5}}{5+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(45+20\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}}{5}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\end{align*}$

となります。

$18°, 36°, 54°, 72°$ の三角比を改めて以下にまとめます。また、それぞれの近似値も一覧表にしてまとめてみます。

$\begin{align*}\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\tan18°&=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\\[1em]\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[0.5em]\tan36°&=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\\[1em]\sin54°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[0.5em]\cos54°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\tan54°&=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\\[1em]\sin72°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos72°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\tan72°&=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\end{align*}$