この二重根号の等式は成り立っている？

$$\sqrt{10+5\sqrt{2}}-\sqrt{2+\sqrt{2}}=\sqrt{12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}}$$

「上の等式が成り立つことを証明せよ。」

　いくつかの方法で証明してみます。

平方根の計算法則を利用

　左辺の$\sqrt{10+5\sqrt{2}}$の平方根の中は

$$10+5\sqrt{2}=5(2+\sqrt{2})$$

と因数分解できることから、平方根の計算法則$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$より

$$\sqrt{5(2+\sqrt{2})}=\sqrt{5}\sqrt{2+\sqrt{2}}$$

と書けます。

したがって、左辺は

$$\begin{align*}(左辺)&=\sqrt{5}\sqrt{2+\sqrt{2}}-\sqrt{2+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=(\sqrt{5}-1)\sqrt{2+\sqrt{2}}\end{align*}$$

となります。

ところで、平方根の計算法則$\sqrt{a^2}=|a|$は$a\geqq0$ならば$\sqrt{a^2}=a$です。

このことから$\sqrt{5}-1>0$より

$$\sqrt{5}-1=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}$$

と書けるので、さらに左辺は

$$\begin{align*}(左辺)&=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(2+\sqrt{2})}\\[0.5em]&=\sqrt{(6-2\sqrt{5})(2+\sqrt{2})}\\[0.5em]&=\sqrt{12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{2}}\end{align*}$$

とでき、右辺と一致するので与式が成り立つことを示すことができました。

関連：平方根とは？　平方根の計算法則

2重根号を外して示す

　右辺の平方根の中は

$$\begin{align*}12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}&=(12+6\sqrt{2})-(4\sqrt{5}+2\sqrt{10})\\[0.5em]&=6(2+\sqrt{2})-2\sqrt{5}(2+\sqrt{2})\\[0.5em]&=(6-2\sqrt{5})(2+\sqrt{2})\end{align*}$$

と因数分解できることから、右辺は

$$\begin{align*}(右辺)&=\sqrt{(6-2\sqrt{5})(2+\sqrt{2})}\\[0.5em]&=\sqrt{6-2\sqrt{5}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\end{align*}$$

と書けます。

ここで、$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$は

$$\begin{align*}\sqrt{6-2\sqrt{5}}&=\sqrt{(5+1)-2\sqrt{5\cdot1}}\\[0.5em]&=\sqrt{(\sqrt{5})^2+1^2-2\cdot\sqrt{5}\cdot1}\\[0.5em]&=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{5}-1\end{align*}$$

となるので、さらに右辺は

$$(右辺)=(\sqrt{5}-1)\sqrt{2+\sqrt{2}}$$

となります。

これを展開すると

$$\begin{align*}(右辺)&=\sqrt{5}\sqrt{2+\sqrt{2}}-\sqrt{2+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{10+5\sqrt{2}}-\sqrt{2+\sqrt{2}}\end{align*}$$

となり、左辺と一致するので与式が成り立つことを示すことができました。

関連：数の大小比較（平方根の計算・二重根号）

両辺を2乗して示す

　両辺を2乗して根号を外していって両辺が一致することを確かめればよい、と思うかもしれませんが2乗する前に確認することがあります。

それは「実部と虚部それぞれが同符号の複素数であるか」です。

与えられた等式はまだ成り立つかどうかが不明なので、成り立たない等式の場合もあります。

そして、成り立たない等式の場合でも両辺を2乗すると両辺が一致するときがあるので、そのまま両辺を2乗しても与えられた等式が成り立つことを示すことはできません。

例えば、両辺が実数（虚部が$0$の複素数）の場合
$$5=-5$$
は成り立ちませんが、両辺を2乗すると
$$25=25$$
となり両辺が一致します。

両辺が虚部が$0$でない複素数の場合も
$$1-2i=-1+2i$$
は成り立ちませんが、両辺を2乗すると
$$-3-4i=-3-4i$$
となり両辺が一致します。

これは$5$と$-5$は$25$の平方根であり、$1-2i$と$-1+2i$は$-3-4i$の平方根であるためです。複素数の平方根は実部と虚部それぞれの絶対値が等しく、互いに符号が反転した2つの複素数となります。

2乗して両辺が一致するならば少なくとも2乗する前の両辺はどちらも同じ複素数の平方根であることはわかるので、それらが一致するかどうかは2乗する前の両辺の符号で確認する必要があります。

　左辺に着目すると$10+5\sqrt{2},2+\sqrt{2}$は正の実数なので、$\sqrt{10+5\sqrt{2}},\sqrt{2+\sqrt{2}}$もまた正の実数であることがわかります。
そして、

$$\sqrt{10+5\sqrt{2}}-\sqrt{2+\sqrt{2}}=(\sqrt{5}-1)\sqrt{2+\sqrt{2}}$$

と変形でき、$\sqrt{5}-1$が正の実数であることから左辺は正の実数であることがわかります。
すなわち、実部が正、虚部は$0$なので符号なしの複素数です。

　右辺に着目すると根号の中の$12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}$の正負がわからないので調べます。

$$12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}=2(3-\sqrt{5})(2+\sqrt{2})$$

と因数分解でき、$2,3-\sqrt{5},2+\sqrt{2}$のいずれも正の実数なので$12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}$もまた正の実数です。
右辺はその正の平方根なので正の実数であることがわかります。
すなわち、実部が正、虚部が$0$で符号なしの複素数です。

以上より、両辺が実部と虚部それぞれが同符号の複素数であることがわかります。

　両辺を2乗すると

$$\begin{align*}(右辺)&=12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}\\[1em](左辺)&=\left(\sqrt{10+5\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2-2\sqrt{10+5\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=12+6\sqrt{2}-2(\sqrt{5}-1)\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2\\[0.5em]&=12+6\sqrt{2}-2(\sqrt{5}-1)(2+\sqrt{2})\\[0.5em]&=12+6\sqrt{2}-4\sqrt{5}-2\sqrt{10}\end{align*}$$

となり、両辺が実部と虚部それぞれが同符号の複素数であり、かつ2乗すると一致するので与式が成り立つことがわかります。