sin11.25°、cos11.25°、tan11.25°はどんな数？

　$11.25°$ $(=\dfrac{\pi}{16})$のときの三角関数はどんな値になるのかを調べてみます。

　半角の公式

$$\begin{align*}\sin\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\\[1em]\cos\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\end{align*}$$

を利用します。

$\sin11.25°$

　半角の公式より

$$\begin{align*}\sin11.25°&=\sin\frac{22.5°}{2}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{1-\cos22.5°}{2}}&(\because\sin11.25°>0)\end{align*}$$

「$\sin22.5°,\cos22.5°,\tan22.5°$はどんな数？」より

$$\begin{equation}\cos22.5°=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\end{equation}$$

なので、

$$\begin{align*}\sin11.25°&=\sqrt{\frac{1-\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{\cfrac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\tag2\end{align*}$$

となります。

$\cos11.25°$

　半角の公式より

$$\begin{align*}\cos11.25°&=\cos\frac{22.5°}{2}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{1+\cos22.5°}{2}}&(\because \cos11.25°>0)\end{align*}$$

$(1)$より

$$\begin{align*}\cos11.25°&=\sqrt{\frac{1+\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\tag3\end{align*}$$

となります。

$\tan11.25°$

　三角関数の相互関係$\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}$、$(2),(3)$より

$$\begin{align*}\tan11.25°&=\frac{\sin11.25°}{\cos11.25°}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}{\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2(2+\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{2}}-2\sqrt{2}-2}{2}\\[0.5em]&=(2+\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1\\[0.5em]&=\sqrt{(2+\sqrt{2})^2(2-\sqrt{2})}-\sqrt{2}-1\\[0.5em]&=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1\end{align*}$$

となります。

関連：$\sin22.5°,\cos22.5°,\tan22.5°$はどんな数？

関連：三角関数 半角の公式

関連：三角関数$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係