11.25° (=\dfrac{\pi}{16})のときの三角関数はどんな値になるのかを調べてみます。
半角の公式
\begin{align*}\sin\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}\\[1em]\cos\frac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}\end{align*}
を利用します。
\sin11.25°
半角の公式より
\begin{align*}\sin11.25°&=\sin\frac{22.5°}{2}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{1-\cos22.5°}{2}}&(\because\sin11.25°>0)\end{align*}
「\sin22.5°,\cos22.5°,\tan22.5°はどんな数？」より
\begin{equation}\cos22.5°=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\end{equation}
なので、
\begin{align*}\sin11.25°&=\sqrt{\frac{1-\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{\cfrac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\tag2\end{align*}
となります。
\cos11.25°
半角の公式より
\begin{align*}\cos11.25°&=\cos\frac{22.5°}{2}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{1+\cos22.5°}{2}}&(\because
\cos11.25°>0)\end{align*}
(1)より
\begin{align*}\cos11.25°&=\sqrt{\frac{1+\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\tag3\end{align*}
となります。
\tan11.25°
三角関数の相互関係\tanθ=\dfrac{\sinθ}{\cosθ}、(2),(3)より
\begin{align*}\tan11.25°&=\frac{\sin11.25°}{\cos11.25°}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}{\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\cdot\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\\[0.5em]&=\frac{2(2+\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{2}}-2\sqrt{2}-2}{2}\\[0.5em]&=(2+\sqrt{2})\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1\\[0.5em]&=\sqrt{(2+\sqrt{2})^2(2-\sqrt{2})}-\sqrt{2}-1\\[0.5em]&=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1\end{align*}
となります。
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